Newton's law of gravitation · Ley de gravitación universal de Newton
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| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | ley de gravitación |
| attractive/əˈtræktɪv/ | atractivo |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | constante universal |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | ley del cuadrado inverso |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | masa puntual |
Every mass pulls every other
- The Earth pulls you down — and you pull the Earth up, just as hard.
- Every pair of masses attracts, anywhere in the universe.
- Newton captured it in one equation.
Toda masa atrae a toda otra
- La Tierra te tira hacia abajo — y tú tiras de la Tierra hacia arriba, con la misma fuerza.
- Cada par de masas se atrae, en cualquier lugar del universo.
- Newton lo capturó en una ecuación.
The law of gravitation 万有引力定律
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — an attractive 吸引 pull along the line joining the masses.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ is the universal constant 万有引力常数.
La ley de gravitación
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — una atracción a lo largo de la línea que une las masas.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ es la constante universal.
Newton's law of gravitation · Ley de gravitación universal de Newton
F ∝ Mm / r²
Gravity pulls inward and weakens with the square of the distance. · La gravedad atrae hacia adentro y se debilita con el cuadrado de la distancia.
Newton's law of gravitation gives the force between two masses as: · La ley de gravitación universal de Newton da la fuerza entre dos masas como:
The pull is proportional to each mass and inversely proportional to the distance squared. · La atracción es proporcional a cada masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Gravity is always attractive. · La gravedad siempre es atractiva.
Yes — masses only ever pull together; there is no gravitational repulsion. · Sí — las masas solo se atraen mutuamente; no existe repulsión gravitacional.
An inverse-square law 平方反比定律
- The force falls off as $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Double the separation → the force drops to a quarter.
The International Space Station orbits Earth, held in its path by gravity
Una ley del cuadrado inverso
- La fuerza disminuye conforme a $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Duplicar la separación → la fuerza se reduce a una cuarta parte.
La Estación Espacial Internacional orbita la Tierra, manteniéndose en su trayectoria por la gravedad
Two masses attract with $40\ \text{N}$ at separation $r$. What is the force at separation $2r$? · Dos masas se atraen con $40\ \text{N}$ a una separación $r$. ¿Cuál es la fuerza a una separación $2r$?
Inverse-square: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$. · Dependencia inverso-cuadrática: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
If both masses are doubled (same distance), the gravitational force becomes: · Si ambas masas se duplican (misma distancia), la fuerza gravitacional se convierte en:
$F \propto m_1 m_2$, so doubling each multiplies the force by $2 \times 2 = 4$. · $F \propto m_1 m_2$, por lo que al duplicar cada una, la fuerza se multiplica por $2 \times 2 = 4$.
Two masses attract with force $F$. Match each change to the new force. · Dos masas se atraen con una fuerza $F$. Asocia cada cambio con la nueva fuerza.
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: masses scale the force directly, the separation scales it by the inverse square. · $F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: las masas escalan la fuerza directamente, la separación la escala por el inverso del cuadrado.
Spheres act as points
- A uniform sphere pulls (from outside) exactly like a point mass 质点 at its centre.
- So you can treat the Earth as a point mass at its centre, and $r$ is always measured centre to centre.
Two masses attract along the line joining them
Las esferas actúan como puntos
- Una esfera uniforme atrae (desde el exterior) exactamente como una masa puntual 质点 en su centro.
- Por lo tanto, puedes tratar a la Tierra como una masa puntual en su centro, y $r$ siempre se mide de centro a centro.
Dos masas se atraen a lo largo de la línea que las une
A uniform sphere attracts outside objects as if all its mass were at its centre. · Una esfera uniforme atrae a los objetos exteriores como si toda su masa estuviera en su centro.
Yes — from outside, a uniform sphere behaves exactly like a point mass at its centre. · Sí — desde el exterior, una esfera uniforme se comporta exactamente como una masa puntual en su centro.
Worked example: the Earth and the Moon
Earth's mass is $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, the Moon's is $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, and their centres are $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$ apart.
- Force: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- On which body? On both: the Moon pulls the Earth with exactly the same $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — a Newton's third law pair.
- Halve the distance: the force would be $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Check: square the separation before dividing, and keep it in metres. An answer near $10^{28}\ \text{N}$ means $r$ was not squared.
Ejemplo resuelto: la Tierra y la Luna
La masa de la Tierra es $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, la de la Luna es $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, y sus centros están separados por $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$.
- Fuerza: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- ¿Sobre qué cuerpo? Sobre ambos: la Luna atrae a la Tierra con exactamente la misma $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — un par de la tercera ley de Newton.
- Reducir la distancia a la mitad: la fuerza sería $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Comprobación: eleva al cuadrado la separación antes de dividir, y mantenla en metros. Un resultado cercano a $10^{28}\ \text{N}$ indica que no se elevó al cuadrado $r$.
Two $50\ \text{kg}$ people stand with their centres $1.0\ \text{m}$ apart. What is the gravitational force between them, as a multiple of $10^{-7}\ \text{N}$? · Dos personas de $50\ \text{kg}$ están de pie con sus centros a $1.0\ \text{m}$ de distancia. ¿Cuál es la fuerza gravitacional entre ellas, como múltiplo de $10^{-7}\ \text{N}$?
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — less than the weight of a grain of dust, which is why $G$ is called tiny. · $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — menos que el peso de un grano de polvo, por eso $G$ se considera muy pequeño.
Weighing a planet
- You cannot put a planet on a balance, but its surface field gives its mass: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, so $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- A moon's orbit works too: gravity supplies the centripetal force, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, so $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — only the orbit's radius and period are needed.
Pesar un planeta
- No puedes poner un planeta en una balanza, pero su campo superficial proporciona su masa: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, luego $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- La órbita de una luna también funciona: la gravedad suministra la fuerza centrípeta, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, luego $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$; solo se necesitan el radio y el período de la órbita.
Worked example: the mass of Mars
At the surface of Mars the field strength is $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and the radius is $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Show that the mass of Mars is about $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Start from the field of a sphere: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Rearrange: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Answer: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, as required — about a tenth of the Earth's mass.
- Check: a "show that" is marked on the working, so write the equation, the rearrangement and the substitution, and let the number fall out.
Ejemplo resuelto: la masa de Marte
En la superficie de Marte, la intensidad del campo es $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ y el radio es $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Demuestra que la masa de Marte es aproximadamente $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Partir del campo de una esfera: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Despejar: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Respuesta: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, como se requería — aproximadamente una décima parte de la masa de la Tierra.
- Comprobación: un ejercicio tipo "demuestra que" se califica sobre el procedimiento, así que escribe la ecuación, el despeje y la sustitución, y deja que el número salga naturalmente.
A planet has surface field strength $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and radius $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. What is its mass, as a multiple of $10^{27}\ \text{kg}$? · Un planeta tiene una intensidad de campo superficial de $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ y un radio de $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. ¿Cuál es su masa, como múltiplo de $10^{27}\ \text{kg}$?
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — close to Jupiter. · $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — cercano a Júpiter.
$r$ is the distance between the centres — never the gap between the surfaces, and never a height above the ground on its own. $G$ is tiny, which is why gravity between everyday objects is negligible; only a planet-sized mass makes it noticeable. And the two forces in the pair are equal, however different the masses — the apple pulls the Earth as hard as the Earth pulls the apple.
$r$ es la distancia entre los centros — nunca la brecha entre las superficies, ni tampoco una altura sobre el suelo por sí sola. $G$ es minúscula, por lo que la gravedad entre objetos cotidianos es despreciable; solo una masa del tamaño de un planeta la hace notable. Y las dos fuerzas del par son iguales, sin importar cuán diferentes sean las masas: la manzana tira de la Tierra con tanta fuerza como la Tierra tira de la manzana.
In $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, the distance $r$ is measured between the ____ of the two masses. · En $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, la distancia $r$ se mide entre las ____ de las dos masas.
A uniform sphere acts as a point mass at its centre, so for a satellite $r$ is the planet's radius plus the height above the surface. · Una esfera uniforme actúa como una masa puntual en su centro, por lo que para un satélite $r$ es el radio del planeta más la altura sobre la superficie.
You've got it
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — always attractive, along the joining line, equal on both masses
- it is an inverse-square law: double $r$ → quarter the force
- a uniform sphere acts as a point mass at its centre, so $r$ is centre-to-centre; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ weighs a planet
Lo has entendido
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — siempre atractiva, a lo largo de la línea de unión, igual sobre ambas masas
- es una ley de cuadrado inverso: duplicar $r$ → cuarta parte de la fuerza
- una esfera uniforme actúa como una masa puntual en su centro, por lo que $r$ es de centro a centro; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ pesa un planeta