Linear combinations of random variables · Combinaciones lineales de variables aleatorias
| English | Español |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | varianza |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | combinación lineal |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aleatoria |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformación lineal |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independientes |
The mathematics of combining
- If you know the mean and variance 方差 of two separate processes, what happens when you add them together?
- Linear combinations 线性组合 let you predict the behaviour of combined random variables 随机变量 — essential for quality control, finance, and engineering.
La matemática de la combinación
- Si conoce la media y la varianza de dos procesos separados, ¿qué sucede al sumar sus variables?
- Las combinaciones lineales le permiten predecir el comportamiento de las variables aleatorias combinadas —esenciales para el control de calidad, las finanzas y la ingeniería.
Linear combination lab · Laboratorio de combinación lineal
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · Cambie un factor de escala y observe cómo se escala el valor esperado.
Linear transformations 线性变换 of a single variable
- For a single variable changed by a linear rule:
Worked example. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Let $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
The constant $b$ vanishes from variance. Adding a constant shifts the mean but doesn't change the spread. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, not $\text{Var}(X) + 25$.
The Poisson distribution Po(3); its mean and variance both equal lambda
Transformaciones lineales de una sola variable
- Para una única variable modificada por una regla lineal:
Ejemplo resuelto. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Sea $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
La constante $b$ desaparece en la varianza. Sumar una constante desplaza la media pero no cambia la dispersión. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, no $\text{Var}(X) + 25$.
La distribución de Poisson Po(3); su media y varianza son ambas iguales a lambda
X has mean 5. What is E(3X − 1)? · X tiene media 5. ¿Cuál es E(3X − 1)?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X has variance 4. What is Var(3X − 1)? · X tiene varianza 4. ¿Cuál es Var(3X − 1)?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (the −1 has no effect). · Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (el −1 no tiene efecto).
In Var(aX + b), the constant b: · En Var(aX + b), la constante b:
Adding a constant shifts the data but does not change its spread, so b drops out. · Sumar una constante desplaza los datos pero no cambia su dispersión, por lo que b se cancela.
Two independent 独立 variables
- Note: variances always add (even for $X - Y$), because $(-1)^2 = 1$.
Dos variables independientes
- Nota: las varianzas siempre se suman (incluso para $X - Y$), porque $(-1)^2 = 1$.
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ? · X e Y son independientes. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (variances add for independent variables). · Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (las varianzas se suman para variables independientes).
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ? · X e Y son independientes. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Variances always add. · Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Las varianzas siempre se suman.
Distributions under linear combinations
- If $X$ is normal, so is $aX + b$; the sum of independent normals is normal.
- The sum of independent Poissons is Poisson: if $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ and $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, then $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
Distribuciones bajo combinaciones lineales
- Si $X$ es normal, entonces $aX + b$ también lo es; la suma de normales independientes es normal.
- La suma de Poissons independientes es Poisson: si $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ y $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, entonces $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
If X ~ Po(3) and Y ~ Po(5) are independent, then X + Y ~ Po(8). · Si X ~ Po(3) y Y ~ Po(5) son independientes, entonces X + Y ~ Po(8).
The sum of independent Poisson variables is Poisson with parameter λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8. · La suma de variables de Poisson independientes es Poisson con parámetro λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
Worked example — combining normals
- $X \sim N(10, 4)$ and $Y \sim N(20, 9)$, independent. Find the distribution of $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- So $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Linear combinations of normal distributions are normal; sums of independent Poisson distributions are Poisson.
Ejemplo resuelto — Combinando normales
- $X \sim N(10, 4)$ e $Y \sim N(20, 9)$, independientes. Encuentre la distribución de $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- Por tanto, $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Las combinaciones lineales de distribuciones normales son normales; las sumas de distribuciones de Poisson independientes son Poisson.
You've got it
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (the $b$ drops, $a$ is squared)
- independent: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- normal stays normal under a linear rule; sums of independent Poissons are Poisson
Ya lo dominaste
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (la $b$ se elimina, la $a$ se eleva al cuadrado)
- independiente: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- la normal permanece normal bajo una regla lineal; las sumas de Poissons independientes son Poisson