Continuous random variables · Variables aleatorias continuas
| English | Español |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aleatoria continua |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | función de densidad de probabilidad |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | función de distribución acumulativa |
The curve that tells probabilities
- A continuous random variable 连续型随机变量 can take any value in a range — like the exact time a bus arrives, or the precise height of a person.
- Unlike discrete variables, you can't list probabilities for each value. Instead, a probability density function 概率密度函数 (pdf) describes the shape, and probabilities are areas 面积 under the curve.
La curva que indica probabilidades
- Una variable aleatoria continua 连续型随机变量 puede tomar cualquier valor dentro de un rango — como el momento exacto en que llega un autobús, o la estatura precisa de una persona.
- A diferencia de las variables discretas, no se pueden enumerar probabilidades para cada valor. En su lugar, una función de densidad de probabilidad 概率密度函数 (pdf) describe la forma, y las probabilidades son áreas 面积 bajo la curva.
The probability density function
- A continuous random variable can take any value in a range, described by a probability density function $f(x)$:
Worked example. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ for $0 \leq x \leq 4$, zero otherwise. Check: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ is NOT a probability. The value of $f(x)$ at a point can be greater than 1. Only the area under the curve between two points gives a probability.
For a continuous variable, probability is the area under the density f(x)
La función de densidad de probabilidad
- Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un rango, descrita por una función de densidad de probabilidad $f(x)$:
Ejemplo resuelto. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ para $0 \leq x \leq 4$, cero en caso contrario. Comprobación: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ NO es una probabilidad. El valor de $f(x)$ en un punto puede ser mayor que 1. Solo el área bajo la curva entre dos puntos da una probabilidad.
Para una variable continua, la probabilidad es el área bajo la densidad f(x)
Area = probability · Área = probabilidad
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilidad is the area · área under the density curve between two values. · Para una variable continua, la probabilidad es el área bajo la curva de densidad entre dos valores.
A probability density function must satisfy ∫f(x)dx over all x equals what value? · Una función de densidad de probabilidad debe satisfacer que ∫f(x)dx sobre todas las x sea igual a ¿qué valor?
The total area under a pdf is always 1. · El área total bajo una pdf es siempre 1.
The value of f(x) at a point is the probability that X equals that value. · El valor de f(x) en un punto es la probabilidad de que X sea igual a ese valor.
f(x) is a density, not a probability. Only the area under f gives a probability. f(x) can even exceed 1. · f(x) es una densidad, no una probabilidad. Solo el área bajo f da una probabilidad. f(x) puede incluso exceder 1.
For f(x) = x/8 on 0 ≤ x ≤ 4, verify ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. What is the result? · Para f(x) = x/8 en 0 ≤ x ≤ 4, verifique que ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. ¿Cuál es el resultado?
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. The total area is 1, confirming it is a valid pdf. · [x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. El área total es 1, confirmando que es una pdf válida.
Finding probabilities
- A probability is an area under $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Probabilities are areas under f(x); the total area over all x must equal 1.
Cálculo de probabilidades
- Una probabilidad es un área bajo $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Las probabilidades son áreas bajo f(x); el área total sobre todos los valores de x debe ser igual a 1.
For a continuous variable, P(a < X < b) is the area under f(x) between a and b. · Para una variable continua, P(a < X < b) es el área bajo f(x) entre a y b.
Probabilities for a continuous variable are areas under the density function. · Las probabilidades para una variable continua son áreas bajo la función de densidad.
Finding the mean and variance
- The mean is $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- The variance is $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, where $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
Cálculo de la media y la varianza
- La media es $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- La varianza es $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, donde $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
For f(x) = ½x on 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². What is E(X)? (≈, 2 dp) · Para f(x) = ½x en 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². ¿Cuál es E(X)? (≈, 2 dp)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ is the area under $f$ up to $x$. It always increases from 0 to 1.
- Use the density function to find the median and other percentiles.
La función de distribución acumulada 累积分布函数
- La cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ es el área bajo $f$ hasta $x$. Siempre aumenta de 0 a 1.
- Use la función de densidad para encontrar la mediana y otros percentiles.
The cumulative distribution function F(x) gives: · La función de distribución acumulativa F(x) proporciona:
F(x) = P(X ≤ x) = the area under f up to x. · F(x) = P(X ≤ x) = el área bajo f hasta x.
You've got it
- a pdf has $f(x) \geq 0$ and total area $\int f = 1$
- a probability is the area under $f$ between the limits
- the mean $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$
Lo has entendido
- una pdf tiene $f(x) \geq 0$ y área total $\int f = 1$
- una probabilidad es el área bajo $f$ entre los límites
- la media $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$