The Poisson distribution · La distribución de Poisson
| English | Español |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribución de Poisson |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalo |
| mean/miːn/ | media |
| variance/ˈveərɪəns/ | varianza |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | sobredispersión |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parámetro |
The queue that never ends
- Customers arrive at a shop at an average rate of 3 per minute. What's the probability that exactly 5 arrive in the next minute?
- The Poisson distribution 泊松分布 models rare events happening at a steady rate — from phone calls to radioactive decay.
La cola que nunca termina
- Los clientes llegan a una tienda a una tasa promedio de 3 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 en el próximo minuto?
- La distribución de Poisson 泊松分布 modela eventos raros que ocurren a una tasa constante — desde llamadas telefónicas hasta la desintegración radiactiva.
The Poisson distribution
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ models the number of random events in a fixed interval 区间 at a steady rate $\lambda$:
Worked example. Calls arrive at a rate of $\lambda = 4$ per hour. P(exactly 2 calls) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
People arriving at random in a queue follow a Poisson distribution
La distribución de Poisson
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ modela el número de eventos aleatorios en un intervalo fijo 区间 a una tasa constante $\lambda$:
Ejemplo resuelto. Las llamadas llegan a una tasa de $\lambda = 4$ por hora. P(exactamente 2 llamadas) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
Las personas que llegan al azar en una cola siguen una distribución de Poisson
The Poisson distribution · La distribución de Poisson
X ~ Po(λ)
The Poisson counts random events in an interval. Its mean · media and · y variance are both λ. · La distribución de Poisson cuenta eventos aleatorios en un intervalo. Su media y su varianza son ambas λ.
For X ~ Po(3), find P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Give your answer to 3 decimal places. · Para X ~ Po(3), calcule P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Dé su respuesta con 3 decimales.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
For X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Find it (3 dp). · Para X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Calcule el valor (3 decimales).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
Match each Poisson idea to its result. · Empareje cada concepto de Poisson con su resultado.
For a Poisson distribution the mean and the variance are both lambda. · Para una distribución de Poisson, la media y la varianza son ambas lambda.
Properties of the Poisson
- For a Poisson variable, the mean 平均数 and variance 方差 both equal $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- This is unique — no other common distribution has this property.
For Po(3) the mean and variance are both 3; the bars give P(X = k).
Mean = variance is the test. If your data has mean ≈ variance, the Poisson model may be appropriate. If variance is much larger than the mean, the events are not independent (overdispersion 过度离散) and Poisson is wrong.
Propiedades de Poisson
- Para una variable de Poisson, la media 平均数 y la varianza 方差 son ambas iguales a $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- Esto es único — ninguna otra distribución común tiene esta propiedad.
Para Po(3), la media y la varianza son ambas 3; las barras representan P(X = k).
Media = varianza es la prueba. Si tus datos tienen media ≈ varianza, el modelo de Poisson puede ser apropiado. Si la varianza es mucho mayor que la media, los eventos no son independientes (sobre dispersión 过度离散) y Poisson es incorrecto.
For X ~ Po(3), what is the mean of X? · Para X ~ Po(3), ¿cuál es la media de X?
For a Poisson variable, the mean equals λ = 3 (and so does the variance). · Para una variable de Poisson, la media es igual a λ = 3 (y lo mismo ocurre con la varianza).
For X ~ Po(3), what is the variance of X? · Para X ~ Po(3), ¿cuál es la varianza de X?
For a Poisson variable, the variance also equals λ = 3. · Para una variable de Poisson, la varianza también es igual a λ = 3.
For a Poisson distribution, the mean and variance are always equal. · Para una distribución de Poisson, la media y la varianza siempre son iguales.
This is a defining property of the Poisson distribution: E(X) = Var(X) = λ. · Esta es una propiedad definitoria de la distribución de Poisson: E(X) = Var(X) = λ.
Poisson approximation to the binomial
- The Poisson approximates the binomial when $n$ is large and $p$ is small.
- Use $\lambda = np$ as the Poisson parameter 参数.
- Example: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
Aproximación de Poisson a la binomial
- La aproximación de Poisson a la binomial se utiliza cuando $n$ es grande y $p$ es pequeña.
- Utiliza $\lambda = np$ como parámetro de Poisson 参数.
- Ejemplo: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). Approximate with Poisson: λ = np. Find λ. · X ~ B(200, 0.01). Aproxime con Poisson: λ = np. Calcule λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
Worked example — approximation
- $X \sim B(100, 0.02)$. Approximate with Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- The normal distribution approximates the binomial distribution (with a continuity correction) when appropriate.
Ejemplo resuelto — aproximación
- $X \sim B(100, 0.02)$. Aproximación con Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- La distribución normal aproxima la distribución binomial (con una corrección de continuidad) cuando es apropiado.
You've got it
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- mean and variance both equal $\lambda$
- approximates the binomial for large $n$, small $p$ (use $\lambda = np$)
Lo has logrado
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- media y varianza son ambas iguales a $\lambda$
- aproxima la binomial para $n$ grande, $p$ pequeña (usa $\lambda = np$)