Permutations and combinations · Permutaciones y combinaciones
| English | Español |
|---|---|
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | permutación |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | combinación |
| factorial/fækˈtɔːrɪəl/ | factorial |
| multiplication principle/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ˈprɪnsɪpl/ | principio de multiplicación |
How many ways to arrange a bookshelf?
- You have 10 books and want to choose 3 to display. How many ways? If order matters, it's a permutation 排列. If you just want any 3, it's a combination 组合.
- Counting techniques are the foundation of probability — and they appear everywhere, from lottery odds to password security.
¿De cuántas formas se puede organizar una estantería?
- Tienes 10 libros y quieres elegir 3 para exhibir. ¿De cuántas formas? Si el orden importa, es una permutación 排列. Si solo quieres cualquier grupo de 3, es una combinación 组合.
- Las técnicas de conteo son la base de la probabilidad —y aparecen en todas partes, desde las probabilidades de lotería hasta la seguridad de contraseñas.
Permutation or combination lab · Laboratorio de permutación o combinación
Choose whether order matters in a counting problem. · Elegir si el orden importa en un problema de conteo.
Permutations (order matters)
- A permutation is an arrangement where order matters: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
- Example: arranging 3 books from 10: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Worked example. How many 3-letter codes can be made from 26 letters (no repeats)? ${}^{26}P_3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600$.
Permutations: 3 books arrange in 3 × 2 × 1 = 6 different orders
Permutaciones (el orden importa)
- Una permutación es un arreglo donde el orden importa: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
- Ejemplo: organizar 3 libros de entre 10: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Ejemplo resuelto. ¿Cuántos códigos de 3 letras se pueden formar con 26 letras (sin repeticiones)? ${}^{26}P_3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600$.
Permutaciones: 3 libros se organizan en 3 × 2 × 1 = 6 órdenes diferentes
In a combination, the order of the chosen items: · En una combinación, el orden de los elementos elegidos:
Combinations ignore order; permutations count order. · Las combinaciones ignoran el orden; las permutaciones lo cuentan.
How many ways to arrange 3 books from 10 on a shelf (¹⁰P₃)? · ¿De cuántas formas se pueden organizar 3 libros de 10 en un estante (¹⁰P₃)?
¹⁰P₃ = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720.
Combinations (order doesn't matter)
- A combination is a selection where order doesn't matter: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
- Example: choosing 3 books from 10: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.
Permutation vs combination. Choosing a committee of 3 from 10 people is a combination (order doesn't matter). Choosing a president, vice-president, and secretary from 10 is a permutation (order matters — the roles are different).
Order matters for a permutation, but not for a combination
Combinaciones (el orden no importa)
- Una combinación es una selección donde el orden no importa: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
- Ejemplo: elegir 3 libros de entre 10: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.
Permutación vs. combinación. Elegir un comité de 3 personas de un grupo de 10 es una combinación (el orden no importa). Elegir presidente, vicepresidente y secretario de entre 10 personas es una permutación (el orden importa — los roles son distintos).
El orden importa para una permutación, pero no para una combinación
How many ways are there to choose 2 from 5 (⁵C₂)? · ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 de 5 (⁵C₂)?
⁵C₂ = 5!/(2!3!) = 120/(2×6) = 10.
⁵P₃ is greater than ⁵C₃. · ⁵P₃ es mayor que ⁵C₃.
⁵P₃ = 60 (order matters), ⁵C₃ = 10 (order doesn't). Permutations always ≥ combinations. · ⁵P₃ = 60 (el orden importa), ⁵C₃ = 10 (el orden no importa). Las permutaciones siempre ≥ combinaciones.
Arrangements with repeats
- To arrange a word with repeated letters, divide by the factorial 阶乘 of each repeat count.
- Example: NEEDLESS has 8 letters with 3 E's and 2 S's: arrangements $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.
Arreglos con repeticiones
- Para ordenar una palabra con letras repetidas, divide por el factorial 阶乘 de cada contador de repeticiones.
- Ejemplo: NEEDLESS tiene 8 letras con 3 E's y 2 S's: arreglos $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.
How many arrangements of the letters of NEEDLESS? (8 letters: E×3, S×2 → 8!/(3!2!)) · ¿Cuántos arreglos hay de las letras de NEEDLESS? (8 letras: E×3, S×2 → 8!/(3!2!))
8!/(3!2!) = 40320/(6×2) = 40320/12 = 3360.
The multiplication principle 乘法原理
- If one choice can be made in $m$ ways and another in $n$ ways, both together can be made in $m \times n$ ways.
- Example: 3 shirts and 4 trousers → $3 \times 4 = 12$ outfits.
El principio de multiplicación 乘法原理
- Si una elección se puede hacer de $m$ formas y otra de $n$ formas, ambas juntas se pueden hacer de $m \times n$ formas.
- Ejemplo: 3 camisas y 4 pantalones → $3 \times 4 = 12$ conjuntos.
You have 3 shirts and 4 trousers. How many outfits can you make? · Tienes 3 camisas y 4 pantalones. ¿Cuántos atuendos puedes formar?
3 × 4 = 12 outfits (multiplication principle). · 3 × 4 = 12 atuendos (principio de multiplicación).
You've got it
- permutation (order matters): ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
- combination (order doesn't): ${}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
- repeated letters: divide $n!$ by each repeat's factorial (NEEDLESS → $\dfrac{8!}{3!\,2!}$)
Lo has entendido
- permutación (el orden importa): ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
- combinación (el orden no importa): ${}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
- letras repetidas: divide $n!$ entre el factorial de cada repetición (NEEDLESS → $\dfrac{8!}{3!\,2!}$)