Representation of data · Representación de datos
| English | Español |
|---|---|
| stem-and-leaf/stem ænd liːf/ | hoja de tallo y hoja |
| box-and-whisker/bɒks ænd ˈwɪskə/ | diagrama de caja y bigotes |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | cuartil |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | histograma |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | frecuencia acumulada |
| median/ˈmiːdiːən/ | mediana |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | rango intercuartílico |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | densidad de frecuencia |
| mean/miːn/ | media |
| mode/məʊd/ | moda |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | desviación estándar |
| variance/ˈveərɪəns/ | varianza |
| outlier/ˈaʊtlaɪə/ | valor atípico |
The diagram that changed history
- In 1854, John Snow mapped cholera deaths in London and spotted a cluster around one water pump. That diagram saved lives.
- Choosing the right statistical diagram is a skill — it reveals patterns that raw numbers hide.
El diagrama que cambió la historia
- En 1854, John Snow mapeó las muertes por cólera en Londres y detectó un agrupamiento alrededor de una bomba de agua. Ese diagrama salvó vidas.
- Elegir el diagrama estadístico adecuado es una habilidad; revela patrones que los números crudos ocultan.
Statistical diagrams
- Choose a diagram to suit the data:
- Stem-and-leaf 茎叶图 (keeps the values, shows shape),
- Box-and-whisker 箱线图 (lowest, three quartiles 四分位数, highest),
- Histogram 直方图 (grouped data — bar area = frequency),
- Cumulative frequency 累积频数 (running totals → median 中位数 and quartiles).
A cumulative frequency curve: read the median across from half the total, and the quartiles from a quarter and three-quarters
A box plot shows the five-number summary; the box spans the interquartile range 四分位距, IQR = Q₃ − Q₁.
Histogram vs bar chart. In a histogram, bars can have different widths and the area (not height) represents frequency. Frequency density 频率密度 $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$.
Histogram area = frequency, not height. When class widths are unequal, the vertical axis shows frequency density, not frequency. A tall narrow bar may represent fewer data points than a short wide one.
Diagramas estadísticos
- Elija un diagrama según los datos:
- Stem-and-leaf (mantiene los valores y muestra la forma),
- Box-and-whisker (valor mínimo, tres cuartiles, valor máximo),
- Histograma (datos agrupados — el área de la barra = frecuencia),
- Frecuencia acumulada (totales progresivos → mediana y cuartiles).
Una curva de frecuencia acumulada: lea la mediana desde la mitad del total, y los cuartiles desde un cuarto y tres cuartos.
Un diagrama de caja muestra el resumen de cinco números; la caja abarca el rango intercuartílico, IQR = Q₃ − Q₁.
Histograma vs. gráfico de barras. En un histograma, las barras pueden tener anchos diferentes y el área (no la altura) representa la frecuencia. La densidad de frecuencia $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$.
Área del histograma = frecuencia, no altura. Cuando los anchos de clase son desiguales, el eje vertical muestra la densidad de frecuencia, no la frecuencia. Una barra alta y estrecha puede representar menos puntos de datos que una barra corta y ancha.
Spread and the bell · Dispersión y la campana
P(−k < Z < k)
Spread · Dispersión is measured in standard deviations — about 68% of data lies within 1 sd, 95% within 2. · La dispersión se mide en desviaciones estándar: aproximadamente el 68% de los datos se encuentran dentro de 1 desviación estándar, el 95% dentro de 2.
In a histogram of grouped data, the frequency is shown by each bar's: · En un histograma de datos agrupados, la frecuencia está representada por:
In a histogram, the area of each bar represents the frequency. · En un histograma, el área de cada barra representa la frecuencia.
In a histogram with unequal class widths, the height of each bar equals the frequency. · En un histograma con anchos de clase desiguales, la altura de cada barra equivale a la frecuencia.
With unequal widths, the height shows frequency density (frequency/width), not frequency. The area represents frequency. · Con anchos desiguales, la altura muestra la densidad de frecuencia (frecuencia/ancho), no la frecuencia. El área representa la frecuencia.
Match each statistical diagram to what it best shows. · Empareja cada diagrama estadístico con lo que mejor muestra.
A box plot shows quartiles and spread; a histogram uses bar area for frequency; cumulative frequency gives the median/quartiles; stem-and-leaf keeps the data values. · Un diagrama de caja muestra cuartiles y dispersión; un histograma usa el área de las barras para la frecuencia; la frecuencia acumulada da la mediana/cuartiles; la hoja de tallo y hoja mantiene los valores de los datos.
Averages and spread
- Central tendency: mean 平均数 $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$, median (middle), mode 众数 (most common).
- Spread: range, interquartile range, and standard deviation 标准差 $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
- Variance 方差 = $\sigma^2$.
A Venn diagram: the overlap is the intersection of two events
Promedios y dispersión
- Tendencia central: media $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$, mediana (valor medio), moda (más frecuente).
- Dispersión: rango, rango intercuartílico y desviación estándar $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
- Varianza = $\sigma^2$.
Un diagrama de Venn: la superposición es la intersección de dos eventos.
For 10 values with Σx = 50, what is the mean? · Para 10 valores con Σx = 50, ¿cuál es la media?
Mean = Σx / n = 50 / 10 = 5. · Media = Σx / n = 50 / 10 = 5.
For 10 values, Σx = 50 and Σx² = 300. What is the standard deviation? (√(Σx²/n − x̄²)) · Para 10 valores, Σx = 50 y Σx² = 300. ¿Cuál es la desviación estándar? (√(Σx²/n − x̄²))
σ = √(300/10 − 5²) = √(30 − 25) = √5 ≈ 2.24.
For the data 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, what is the median? · Para los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, ¿cuál es la mediana?
With 8 values, the median is the average of the 4th and 5th: (4 + 5)/2 = 4.5. · Con 8 valores, la mediana es el promedio del 4º y 5º valor: (4 + 5)/2 = 4.5.
If the standard deviation is 3, what is the variance? · Si la desviación estándar es 3, ¿cuál es la varianza?
Variance = σ² = 3² = 9. · Varianza = σ² = 3² = 9.
Worked example — standard deviation
- Data: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. $n = 8$, $\sum x = 40$, $\sum x^2 = 232$.
- Mean $\bar{x} = \dfrac{40}{8} = 5$.
- Variance $= \dfrac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4$.
- Standard deviation $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
Ejemplo resuelto — desviación estándar
- Datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. $n = 8$, $\sum x = 40$, $\sum x^2 = 232$.
- Media $\bar{x} = \dfrac{40}{8} = 5$.
- Varianza $= \dfrac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4$.
- Desviación estándar $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
Choosing the right average
- Mean: uses all data, but affected by outliers 离群值.
- Median: not affected by outliers — good for skewed data (like salaries).
- Mode: useful for categorical data (most popular colour, most common shoe size).
- Display data with stem-and-leaf diagrams, box-and-whisker plots and cumulative frequency graphs, and measure its variation (spread).
Elegir la media adecuada
- Media: utiliza todos los datos, pero se ve afectada por valores atípicos.
- Mediana: no se ve afectada por valores atípicos — buena para datos asimétricos (como los salarios).
- Moda: útil para datos categóricos (color más popular, talla de zapato más común).
- Muestre los datos con diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja y bigotes y gráficos de frecuencia acumulada, y mida su variación (dispersión).
You've got it
- diagrams: stem-and-leaf, box plot, histogram (area = frequency), cumulative frequency
- averages: mean, median, mode; spread: range, IQR, standard deviation
- $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$, and variance $= \sigma^2$
Lo has logrado
- diagramas: stems-and-leaves, diagrama de caja, histograma (área = frecuencia), frecuencia acumulada.
- promedios: media, mediana, moda; dispersión: rango, IQR, desviación estándar.
- $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$, y varianza $= \sigma^2$.