Differentiation (Pure 2) · Diferenciación (Pura 2)
| English | Español |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | derivadas estándar |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regla del cociente |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regla del producto |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | paramétrico |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implícita |
The derivative that never changes
- The function $e^x$ is unique: its derivative is itself. No other function has this property.
- This makes $e^x$ the foundation of growth models, radioactive decay, and compound interest.
La derivada que nunca cambia
- La función $e^x$ es única: su derivada es ella misma. Ninguna otra función tiene esta propiedad.
- Esto convierte a $e^x$ en la base de los modelos de crecimiento, el decaimiento radiactivo y los intereses compuestos.
Standard derivatives 标准导数
Worked example. $y = e^{3x}$. By the chain rule: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
Derivadas estándar 标准导数
Ejemplo resuelto. $y = e^{3x}$. Por la regla de la cadena: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
The gradient at a point · La pendiente en un punto
gradient = dy/dx · pendiente = dy/dx
Slide the point — the tangent · tangente slope is the derivative, even for these new standard functions. · Desliza el punto — la pendiente de la tangente es la derivada, incluso para estas nuevas funciones estándar.
The derivative of ln x is 1/x. What is its value at x = 4? · La derivada de ln x es 1/x. ¿Cuál es su valor en x = 4?
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
The derivative of eˣ is eˣ. What is its value at x = 0? · La derivada de eˣ es eˣ. ¿Cuál es su valor en x = 0?
d/dx(eˣ) = eˣ, and e⁰ = 1. · d/dx(eˣ) = eˣ, y e⁰ = 1.
If y = e^(3x), then dy/dx = 3e^(3x). What is dy/dx at x = 0? · Si y = e^(3x), entonces dy/dx = 3e^(3x). ¿Cuál es dy/dx en x = 0?
At x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3. · En x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
Product and quotient rules 商法则
- Product rule 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Quotient rule: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
The product rule: when both $u$ and $v$ change, the total rate of change has two terms — one for each function changing while the other stays fixed.
Don't forget the product rule. The derivative of $uv$ is NOT $u'v'$. You must use $(uv)' = u'v + uv'$. This is one of the most common mistakes in differentiation.
Regla del producto y regla del cociente 商法则
- Regla del producto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Regla del cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
La regla del producto: cuando tanto $u$ como $v$ cambian, la tasa de cambio total tiene dos términos — uno para cada función que cambia mientras la otra se mantiene fija.
No olvides la regla del producto. La derivada de $uv$ NO es $u'v'$. Debes usar $(uv)' = u'v + uv'$. Este es uno de los errores más comunes en diferenciación.
The product rule says (uv)′ equals: · La regla del producto dice que (uv)′ es igual a:
The product rule: (uv)′ = u′v + uv′. · La regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′.
The quotient rule for (u/v)′ is (u′v + uv′)/v². · La regla del cociente para (u/v)′ es (u′v + uv′)/v².
The quotient rule is (u′v − uv′)/v² (minus, not plus in the numerator). · La regla del cociente es (u′v − uv′)/v² (menos, no más en el numerador).
Parametric 参数的 and implicit 隐式的 differentiation
- Parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implicit: differentiate every term in $x$, chain-rule the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Diferenciación paramétrica 参数的 e implícita 隐式的
- Paramétrica: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implícita: deriva cada término con respecto a $x$, aplica la regla de la cadena a los términos con $y$, y luego despeja $\dfrac{dy}{dx}$.
If x = t² and y = t³, then dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. At t = 4, dy/dx = ? · Si x = t² y y = t³, entonces dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. En t = 4, dy/dx = ?
At t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6. · En t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
Worked example — product rule
- $y = x^2 \sin x$. Let $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Ejemplo resuelto — regla del producto
- $y = x^2 \sin x$. Sea $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
You've got it
- learn: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- product rule $(uv)' = u'v + uv'$; quotient rule $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implicit: chain-rule the $y$ terms
Lo has logrado
- aprende: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$; regla del cociente $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- paramétrica: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implícita: aplica la regla de la cadena a los términos con $y$