Algebra (modulus and polynomials) · Álgebra (módulo y polinomios)
| English | Español |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | módulo |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | teorema del resto |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinómica |
| degree/dɪˈɡriː/ | grado |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | teorema del factor |
The absolute value that saves bridges
- Engineers designing suspension cables need to know the maximum deviation from the ideal — whether above or below.
- The modulus 绝对值 (absolute value) measures distance from zero, ignoring direction. It appears everywhere: error bounds, tolerances, and inequalities.
El valor absoluto que salva puentes
- Los ingenieros que diseñan cables de suspensión necesitan conocer la desviación máxima con respecto al valor ideal — ya sea por encima o por debajo.
- El módulo (valor absoluto) mide la distancia desde cero, ignorando la dirección. Aparece en todas partes: límites de error, tolerancias e inecuaciones.
The modulus function
- The modulus $|x|$ is the size of a number, sign removed ($|x| \geq 0$). Its graph is a "V".
- Useful rules:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
The modulus function $y = |x - 2|$ creates a V-shape: everything below the axis is reflected above it.
Worked example. Solve $|2x - 3| = 7$. Either $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, or $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. Solutions: $x = 5$ or $x = -2$.
La función módulo
- El módulo $|x|$ es el tamaño de un número, eliminando el signo ($|x| \geq 0$). Su gráfica tiene forma de "V".
- Reglas útiles:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
La función valor absoluto $y = |x - 2|$ crea una forma de V: todo lo que está por debajo del eje se refleja hacia arriba.
Ejemplo resuelto. Resuelve $|2x - 3| = 7$. Ya sea $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, o $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. Soluciones: $x = 5$ o $x = -2$.
The modulus function · La función módulo
y = a|x − b| + c
The modulus makes a V-shape. Move its vertex · vértice with b and c; change how steep the arms are with a. · El módulo produce una forma en V. Desplace su vértice con b y c; cambie la inclinación de los brazos con a.
Solve |x − 2| < 3. The solution is −1 < x < ? What is the upper bound? · Resuelve |x − 2| < 3. La solución es −1 < x < ? ¿Cuál es el límite superior?
|x − 2| < 3 means 2 − 3 < x < 2 + 3, i.e. −1 < x < 5. · |x − 2| < 3 significa 2 − 3 < x < 2 + 3, es decir, −1 < x < 5.
Solve |2x − 3| = 7. What is the larger solution? · Resuelve |2x − 3| = 7. ¿Cuál es la solución mayor?
2x − 3 = 7 → x = 5; or 2x − 3 = −7 → x = −2. Larger is 5. · 2x − 3 = 7 → x = 5; o 2x − 3 = −7 → x = −2. El mayor es 5.
Factor & remainder theorems 余数定理
- A polynomial 多项式 is a sum of powers of $x$; its degree 次数 is the highest power.
- Remainder theorem: the remainder when $p(x) \div (x - a)$ is $p(a)$.
- Factor theorem 因式定理: $(x - a)$ is a factor exactly when $p(a) = 0$.
Don't confuse the two theorems. The remainder theorem gives the remainder for any divisor $(x - a)$. The factor theorem is a special case: when the remainder is zero, $(x - a)$ is a factor.
Taking the modulus folds the negative part of the line up into a V
Teoremas del factor y del residido 余数定理
- Un polinomio 多项式 es una suma de potencias de $x$; su grado 次数 es la potencia más alta.
- Teorema del residuo: el residuo cuando $p(x) \div (x - a)$ es $p(a)$.
- Teorema del factor 因式定理: $(x - a)$ es un factor exactamente cuando $p(a) = 0$.
No confundas los dos teoremas. El teorema del residuo proporciona el residuo para cualquier divisor $(x - a)$. El teorema del factor es un caso especial: cuando el residuo es cero, $(x - a)$ es un factor.
Tomar la módulo dobla la parte negativa de la línea hacia arriba formando una V
By the remainder theorem, what is the remainder when p(x) = x² + 3x + 2 is divided by (x − 1)? · Por el teorema del resto, ¿cuál es el resto cuando p(x) = x² + 3x + 2 se divide por (x − 1)?
Remainder = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6. · Resto = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a) is a factor of p(x) exactly when: · (x − a) es un factor de p(x) exactamente cuando:
The factor theorem: (x − a) is a factor if and only if p(a) = 0. · Teorema del factor: (x − a) es un factor si y solo si p(a) = 0.
Worked example — factor theorem
- Show that $(x - 2)$ is a factor of $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. Since $p(2) = 0$, $(x - 2)$ is a factor.
- Divide: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
Opposite signs of f(a) and f(b) trap a root between a and b
Ejemplo resuelto — teorema del factor
- Muestra que $(x - 2)$ es un factor de $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. Dado que $p(2) = 0$, $(x - 2)$ es un factor.
- Divide: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
Signos opuestos de f(a) y f(b) encierran una raíz entre a y b
If p(3) = 0, then (x − 3) is a factor of p(x). · Si p(3) = 0, entonces (x − 3) es un factor de p(x).
By the factor theorem, p(a) = 0 means (x − a) is a factor. · Por el teorema del factor, p(a) = 0 implica que (x − a) es un factor.
Given p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 and p(1) = 0, factorise: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). What is c? · Dado p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 y p(1) = 0, factoriza: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). ¿Cuál es c?
Dividing x³ − 6x² + 11x − 6 by (x − 1) gives x² − 5x + 6, so c = 6. · Al dividir x³ − 6x² + 11x − 6 entre (x − 1) se obtiene x² − 5x + 6, por lo tanto c = 6.
Solving polynomial equations
- Use the factor theorem to find one root, then divide to reduce the degree.
- A cubic has at most 3 real roots; a quartic at most 4.
- Sketch the graph to check: the number of $x$-axis crossings matches the number of real roots.
- Differentiate a fraction with the quotient rule.
Resolución de ecuaciones polinómicas
- Utiliza el teorema del factor para encontrar una raíz y luego divide para reducir el grado.
- Un polinomio cúbico tiene como máximo 3 raíces reales; un cuártico, como máximo 4.
- Dibuja la gráfica para verificar: el número de intersecciones con el eje $x$ coincide con el número de raíces reales.
- Diferencia una fracción utilizando la regla del cociente.
You've got it
- $|x|$ removes the sign; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- remainder when $p(x) \div (x-a)$ is $p(a)$
- factor theorem: $(x-a)$ is a factor $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- find one root, divide, then solve the remaining quadratic
Lo has entendido
- $|x|$ elimina el signo; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- resto cuando $p(x) \div (x-a)$ es $p(a)$
- teorema del factor: $(x-a)$ es un factor $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- encontrar una raíz, dividir y luego resolver la cuadrática restante