Quadratics · Cuaráticas
| English | Español |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | cuadrática |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | completar el cuadrado |
| vertex/ˈvɜːteks/ | vértice |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminante |
The path of a thrown ball
- Throw a ball and it traces a parabola 抛物线 — the same curve described by every quadratic 二次式 equation.
- Galileo proved this in 1638. Today, quadratics appear in physics, economics, engineering, and optimization.
- Mastering them means you can find the peak, the roots, and the shape of any parabola.
La trayectoria de una pelota lanzada
- Lanza una pelota y esta trazará una parábola 抛物线 — la misma curva descrita por toda ecuación cuadrática 二次式.
- Galileo lo demostró en 1638. Hoy en día, los polinomios de segundo grado aparecen en física, economía, ingeniería y optimización.
- Dominarlos significa que puedes encontrar el pico, las raíces y la forma de cualquier parábola.
Completing the square 配方法
- A quadratic is $ax^2 + bx + c$ (with $a \neq 0$).
- Completing the square rewrites it as $a(x+p)^2 + q$.
- This reveals the vertex 顶点 (turning point) at $(-p,\ q)$.
- Example: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vertex $(3, -4)$.
Completing the square reveals the vertex directly: $y = (x-3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$.
Worked example. Complete the square for $2x^2 + 8x + 3$: factor out $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vertex: $(-2, -5)$.
Completar el cuadrado 配方法
- Un polinomio de segundo grado es $ax^2 + bx + c$ (con $a \neq 0$).
- Completar el cuadrado lo reescribe como $a(x+p)^2 + q$.
- Esto revela el vértice 顶点 (punto de inflexión) en $(-p,\ q)$.
- Ejemplo: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vértice $(3, -4)$.
Completar el cuadrado revela el vértice directamente: $y = (x-3)^2 - 4$ tiene su mínimo en $(3, -4)$.
Ejemplo resuelto. Completa el cuadrado para $2x^2 + 8x + 3$: factoriza el $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vértice: $(-2, -5)$.
Completing the square, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. What is the minimum value q? · Completando el cuadrado, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. ¿Cuál es el valor mínimo de q?
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, so q = −4 (the minimum value). · (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, por lo que q = −4 (el valor mínimo).
Complete the square: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. What is p? · Complete el cuadrado: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. ¿Cuál es p?
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, so p = 2. · 2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, por lo que p = 2.
The discriminant 判别式
- The discriminant is $\Delta = b^2 - 4ac$. It counts the real roots:
- $b^2 - 4ac > 0$ → two distinct real roots,
- $b^2 - 4ac = 0$ → one repeated root,
- $b^2 - 4ac < 0$ → no real roots.
- The quadratic formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
The sign of the discriminant fixes how many times the parabola meets the x-axis: two roots, one, or none
The discriminant is under the square root. If $b^2 - 4ac < 0$, you'd need $\sqrt{\text{negative}}$, which has no real value — so the parabola never crosses the $x$-axis.
A suspension bridge: the main cable hangs in a parabola
El discriminante 判别式
- El discriminante es $\Delta = b^2 - 4ac$. Cuenta las raíces reales:
- $b^2 - 4ac > 0$ → dos raíces reales distintas,
- $b^2 - 4ac = 0$ → una raíz doble,
- $b^2 - 4ac < 0$ → ninguna raíz real.
- Fórmula general: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
El signo del discriminante determina cuántas veces la parábola se encuentra con el eje x: dos raíces, una, o ninguna.
El discriminante está bajo la raíz cuadrada. Si $b^2 - 4ac < 0$, necesitarías $\sqrt{\text{negative}}$, lo cual no tiene valor real — así que la parábola nunca cruza el eje $x$.
Un puente colgante: el cable principal cuelga en forma de parábola.
Explore the parabola · Explorar la parábola
y = ax² + bx + c
Change a, b and · y c to reshape the curve — and watch the vertex · vértice, roots · raíces and · y intercepts move. · Cambie a, b y c para remodelar la curva — y observe cómo se mueven el vértice, las raíces y los interceptos.
For x² + 4x + 1 = 0, what is the discriminant b² − 4ac? · Para x² + 4x + 1 = 0, ¿cuál es el discriminante b² − 4ac?
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, so two distinct real roots). · b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, por lo tanto dos raíces reales distintas).
If b² − 4ac < 0, the quadratic equation has: · Si b² − 4ac < 0, la ecuación cuadrática tiene:
A negative discriminant means the parabola never crosses the x-axis — no real roots. · Un discriminante negativo significa que la parábola nunca cruza el eje x — sin raíces reales.
The equation x² + 2x + 5 = 0 has two distinct real roots. · La ecuación x² + 2x + 5 = 0 tiene dos raíces reales distintas.
Discriminant = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, so no real roots. · Discriminante = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, por lo que no hay raíces reales.
Solving quadratics
- Factorising: fastest when it works. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ or $x = 3$.
- Completing the square: always works, reveals the vertex.
- Quadratic formula: always works, use when factorising is hard.
Resolver ecuaciones de segundo grado
- Factorización: más rápida cuando funciona. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ o $x = 3$.
- Completar el cuadrado: siempre funciona, revela el vértice.
- Fórmula general: siempre funciona, úsala cuando factorizar sea difícil.
Solve x² − 5x + 6 = 0. What is the smaller root? · Resuelva x² − 5x + 6 = 0. ¿Cuál es la raíz más pequeña?
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, so x = 2 or x = 3; the smaller is 2. · x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, por lo que x = 2 o x = 3; la menor es 2.
Linked equations and modelling
- Quadratics model: projectile paths, profit curves, bridge arches, satellite dishes.
- The vertex gives the maximum (if $a < 0$) or minimum (if $a > 0$) value.
- Example: a profit function $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maximum at $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- You should solve quadratic equations and quadratic inequalities, and a pair of simultaneous equations (one linear, one quadratic).
Ecuaciones relacionadas y modelado
- Los polinomios de segundo grado modelan: trayectorias de proyectiles, curvas de beneficio, arcos de puentes, antenas parabólicas.
- El vértice proporciona el valor máximo (si $a < 0$) o mínimo (si $a > 0$).
- Ejemplo: una función de beneficio $P = -2x^2 + 40x - 150$. Máximo en $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- Debes saber resolver ecuaciones cuadráticas e inecuaciones cuadráticas, y un sistema de ecuaciones simultáneas (una lineal y una cuadrática).
You've got it
- complete the square: $a(x+p)^2 + q$, vertex at $(-p, q)$
- the discriminant $b^2 - 4ac$ counts real roots (+ two, 0 one, − none)
- solve with factorising, completing the square, or the quadratic formula
- the vertex gives the maximum or minimum value of the quadratic
Ya lo tienes
- completar el cuadrado: $a(x+p)^2 + q$, vértice en $(-p, q)$
- el discriminante $b^2 - 4ac$ cuenta las raíces reales (+ dos, 0 una, − ninguna)
- resuelve con factorización, completando el cuadrado o la fórmula general
- el vértice da el valor máximo o mínimo del polinomio de segundo grado