Chi-squared tests · Pruebas de chi-cuadrado
| English | Español |
|---|---|
| chi-squared/kaɪ skweəd/ | chi-cuadrada |
| observed/ɒbˈzɜːvd/ | observado |
| expected/ekˈspektɪd/ | esperado |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | valor crítico |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | grados de libertad |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | bondad de ajuste |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | independencia |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | tabla de contingencia |
Does the data fit the theory?
- You expect a die to land equally on each face, or eye-colour to be independent of hair-colour. Does the data actually agree?
- The $\chi^2$ (chi-squared 卡方) test measures how far observed 观测 counts stray from what a model predicts — and whether that gap is too big to be chance.
¿Se ajustan los datos a la teoría?
- Se espera que un dado caiga por igual en cada cara, o que el color de ojos sea independiente del color de cabello. ¿Realmente concuerdan los datos?
- La prueba de $\chi^2$ (chi-cuadrado 卡方) mide cuánto se desvían las frecuencias observadas 观测 de lo que predice un modelo — y si esa diferencia es demasiado grande como para deberse al azar.
Chi-squared test route · Ruta de la prueba de chi-cuadrado
Follow observed and expected counts to a test decision. · Siga los conteos observados y esperados hasta tomar una decisión de prueba.
The test statistic
- Compare each observed count $O$ with the expected 期望 count $E$ from the model:
- A small $\chi^2$ means the data fits; a large one means it doesn't.
La estadística de prueba
- Compare cada frecuencia observada $O$ con la frecuencia esperada 期望 $E$ del modelo:
- Un valor pequeño de $\chi^2$ indica que los datos se ajustan; uno grande indica que no.
The chi-squared test statistic is: · La estadística de prueba de chi-cuadrado es:
χ² sums (observed − expected)² ÷ expected over all categories. · χ² suma (observado − esperado)² ÷ esperado sobre todas las categorías.
The rejection region
- Compare $\chi^2$ with a critical value 临界值 from the tables for the right degrees of freedom 自由度.
- If $\chi^2$ lands beyond the critical value (in the upper tail), reject the model.
A large χ² lands in the shaded tail — too big to be chance, so the model is rejected.
La región de rechazo
- Compare $\chi^2$ con un valor crítico 临界值 obtenido de las tablas correspondientes a los grados de libertad 自由度 correctos.
- Si $\chi^2$ cae más allá del valor crítico (en la cola superior), rechace el modelo.
Un valor χ² grande se sitúa en la cola sombreada: es demasiado grande para ser producto del azar, por lo que se rechaza el modelo.
A large chi-squared value (beyond the critical value) leads you to reject the model. · Un valor grande de chi-cuadrado (más allá del valor crítico) lo lleva a rechazar el modelo.
A large χ² means observed and expected differ too much to be chance. · Un χ² grande significa que los observados y esperados difieren demasiado para ser producto del azar.
Worked example
- Observed counts $20, 30, 25, 25$, each expected to be $25$.
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- Compared with the critical value, a $\chi^2$ of $2$ is small — the data fits.
Ejemplo resuelto
- Frecuencias observadas $20, 30, 25, 25$, cada una de las cuales debería ser $25$.
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- En comparación con el valor crítico, un $\chi^2$ de $2$ es pequeño — los datos se ajustan.
Observed counts 20, 30, 25, 25, each expected 25. What is χ² = Σ(O−E)²/E? · Conteos observados 20, 30, 25, 25, cada uno esperado 25. ¿Cuál es χ² = Σ(O−E)²/E?
((−5)² + 5² + 0 + 0)/25 = 50/25 = 2.
Two uses
- Goodness of fit 拟合优度: does the data follow a proposed distribution (uniform, binomial, Poisson…)?
- Independence 独立性: in a contingency table 列联表, are the two classifications independent? (Expected $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)
Pool small expected frequencies. If any expected count is below 5, combine classes first — the $\chi^2$ approximation is unreliable for tiny expected counts.
Dos usos
- Ajuste de bondad 拟合优度: ¿siguen los datos una distribución propuesta (uniforme, binomial, Poisson…)?
- Independencia 独立性: en una tabla de contingencia 列联表, ¿son independientes las dos clasificaciones? (Esperado $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)
Agrupe frecuencias esperadas pequeñas. Si cualquier conteo esperado es menor que 5, combine clases primero — la aproximación $\chi^2$ no es confiable para conteos esperados muy pequeños.
Match each chi-squared use to what it tests. · Empareje cada uso de chi-cuadrado con lo que prueba.
Goodness of fit checks a distribution; the independence test uses a contingency table. · El ajuste de bondad verifica una distribución; la prueba de independencia usa una tabla de contingencia.
Before testing, pool any class whose expected frequency is below ______. · Antes de probar, agrupe cualquier clase cuya frecuencia esperada sea menor a ______.
The χ² approximation needs expected counts of at least 5; combine smaller ones. · La aproximación de χ² requiere conteos esperados de al menos 5; combine los menores.
You've got it
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — observed vs expected counts
- a large $\chi^2$ (beyond the critical value, upper tail) rejects the model
- uses: goodness of fit and independence; pool expected counts below 5
Lo has entendido
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — conteos observados vs. esperados
- un $\chi^2$ grande (más allá del valor crítico, cola superior) rechaza el modelo
- usos: bondad de ajuste e independencia; agrupar conteos esperados menores que 5