1 · Números y álgebra

Diploma del Bachillerato Internacional · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · Tema 1

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1.1

Alcance y requisitos previos

Este folleto cubre temas seleccionados del SL para el curso evaluado por primera vez en 2021; no constituye el temario completo.

Requisitos previos: leer las cantidades y unidades indicadas, y aplicar aritmética y las condiciones del modelo siguientes.

Los ejemplos son originales y ficticios: no son mediciones reales ni investigaciones estudiantiles reales.

Vocabulario Entrenar

English	Español
prime factor/praɪm ˈfæktə/	factor primo
index/ˈɪndeks/	índice
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	razón común
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	multiplicador

1.2

Aritmética exacta y estimación

¿Podemos empaquetar sin sobrantes?

Un proveedor empaca 72 lápices y 90 bolígrafos en bolsas de regalo idénticas. ¿Cómo podemos evitar las sobras?
Esta lección estudia el factor primo: un número primo que divide al entero exactamente.

El método

Los factores primos revelan la estructura compartida.
Usa las potencias primas comunes más pequeñas para el MCD y las más grandes para el mcm.
Estimar antes de calcular; usar paréntesis para preservar el orden de las operaciones.

Caso resuelto

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

Ejemplo:

72=2^3×3^2 y 90=2×3^2×5. Su MCD es 2×9=18. Prepare 18 bolsas con 4 lápices y 5 bolígrafos cada una. Su MCM es 2^3×3^2×5=360.

Árboles de factores: 72 se divide en 2, 2, 2, 3, 3 y 90 en 2, 3, 3, 5; los primos comunes dan el MCD 18 — Árboles factoriales: 72 = 2³ × 3² y 90 = 2 × 3² × 5, por lo tanto MCD = 2 × 3² = 18

Dónde falla

El MCD divide a ambos números; el MCM es un múltiplo de ambos.
Responden a preguntas diferentes.
Una estimación decimal no es una fracción exacta.

No es cierto: El MCD de dos enteros positivos es siempre mayor que cualquiera de los enteros. El MCD divide a ambos números, por lo que nunca puede ser mayor que el menor: el MCD de 72 y 90 es 18.

Aplicarlo

Para un examen sin calculadora, mantener las fracciones exactas y mostrar la simplificación.
Para un examen con calculadora, introducir la expresión completa y compararla con la estimación.

En tu curso

Análisis y Enfoques SL, el curso evaluado por primera vez en 2021.

Clave:

Factor primo: Un número primo que divide al entero exactamente.
Los factores primos revelan la estructura compartida.
Prestar atención: el MCD divide a ambos números; el MCM es un múltiplo de ambos.

Escribir desde un MCD de 15

Encuentre el MCD y el mcm de 45 y 75.
El MCD es menor que ambos enteros.

Explorar

Aritmética exacta y estimación

Los factores primos revelan la estructura compartida

Combina las potencias comunes 2 y 9 para justificar 18 bolsas idénticas.

1.3

Índices, radicales y forma estándar

¿Qué tan pequeña es una longitud microscópica?

Un microscopio registra una longitud de 0.000072 metros. Una representación compacta debe mantener su tamaño correcto.
Esta lección estudia índices: La potencia a la cual se eleva una base.

El método

Para la misma base positiva, la multiplicación suma exponentes y la división los resta.
Un exponente negativo significa recíproco; un exponente fraccionario representa una raíz.
La notación científica tiene 1≤a<10.

Caso resuelto

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Ejemplo:

0.000072=7.2×10^(-5). Además 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplifica √72=6√2, luego racionaliza $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Los dígitos de 0.000072 con cinco flechas que muestran el punto decimal saltando hacia la derecha para dar 7.2, por lo que el número es 7.2 × 10⁻⁵ — Mover el punto 5 lugares a la derecha da 7.2, por lo tanto 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

Dónde falla

Las leyes de exponentes no convierten una suma en una sola potencia: 2^3+2^4=24, no 2^7.
No redondees un radical cuando se solicite una respuesta exacta.

Falso: Para todo positivo a, a^2+a^3 iguala a^5. Las leyes de exponentes solo suman potencias cuando los términos se multiplican: 2²+2³=12, pero 2⁵=32.

Aplicarlo

Verificar las potencias de diez contra la cantidad original.
Usar radicales para geometría exacta y redondear solo la longitud final cuando la pregunta lo solicite en decimal.

En tu curso

Análisis y Enfoques SL, el curso evaluado por primera vez en 2021.
El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

Índice: La potencia a la que se eleva una base.
Para la misma base positiva, la multiplicación suma exponentes y la división los resta.
Cuidado: las leyes del índice no convierten una suma en una sola potencia: 2^3+2^4=24, no 2^7.

Escribir de 27 elevado a la potencia 2/3

Evaluar 27 a la potencia 2/3.
Para un número positivo, a al cuadrado más a al cubo no es igual a a a la quinta potencia.

Explorar

Índices, radicales y notación científica

Para la misma base positiva, la multiplicación suma exponentes y la división los resta.

Compara el modelo con el caso resuelto y explica un cambio.

1.4

Sucesiones, series y recurrencia

¿El cambio suma o multiplica?

Un plan de ahorros añade ¥30 más cada semana; un modelo de población crece en 5% cada año. Diferencias iguales y razones iguales requieren modelos diferentes.
Esta lección estudia la razón común: El multiplicador constante entre términos consecutivos de una progresión geométrica.

El método

Para una progresión aritmética, u_n=a+(n-1)d y S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
Para una progresión geométrica, u_n=ar^(n-1) y S_n=a(1-r^n)/(1-r).
Una suma geométrica infinita existe solo si |r|<1.

Caso resuelto

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

Ejemplo:

Para a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 y S_8=8(10+21)/2=124. Para a=12, r=1/2, S infinito=12/(1-1/2)=24. Para u_(n+1)=2u_n+1 con u_1=1, los siguientes términos son 3,7,15.

Puntos de una progresión aritmética 5, 8, 11 y así sucesivamente, aumentando en 3 para cada término hasta el octavo término, 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): pasos iguales de 3 colocan los términos en una línea recta

Dónde falla

El primer término tiene índice 1, por lo que el exponente es n-1.
Una secuencia es una lista; una serie es una suma.
Una secuencia geométrica puede alternar signos y aún converger.

Falso: Toda serie geométrica tiene una suma finita al infinito. Una suma al infinito existe solo cuando −1<r<1; para r=2 los términos crecen sin límite.

Aplicarlo

Explique si el contexto justifica un cambio aditivo o multiplicativo.
En finanzas, distinga un depósito único de una serie de depósitos antes de elegir una fórmula de suma.

En tu curso

Análisis y Enfoques SL, el curso evaluado por primera vez en 2021.
El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

Razón común: El multiplicador constante entre términos consecutivos de una secuencia geométrica.
Para una progresión aritmética, u_n=a+(n-1)d y S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
Tenga en cuenta: el primer término tiene índice 1, por lo que el exponente es n-1.

Escribir a partir del término 6 29

Una secuencia aritmética tiene primer término 4 y diferencia común 5.
Encuentre el término ⟨6⟩th. Una serie geométrica infinita requiere una razón común con magnitud inferior a ⟨1⟩.

Explorar

Secuencias, series y recurrencia

Para una progresión aritmética, u_n=a+(n-1)d y S_n=n(2a+(n-1)d)/2

Compara el modelo con el caso resuelto y explica un cambio.

1.5

Porcentajes, proporción y razonamiento proporcional

¿Podemos recuperar el precio original?

Un abrigo tiene un descuento del 20% a ¥240. El descuento se aplica al precio original, no al precio de oferta.
Esta lección estudia multiplicador: Un factor que realiza un cambio porcentual en una sola multiplicación.

El método

Un aumento de p% tiene un multiplicador de 1+p/100; una disminución tiene un multiplicador de 1-p/100.
Invertir un porcentaje dividiendo por el multiplicador.
En una proporción, primero encontrar el número total de partes.

Caso resuelto

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

Ejemplo:

Sea P el precio original. El modelo es precio de venta=0.8P. Por tanto P=240/0.8=300. Un posterior aumento del 20% da 240×1.2=288, por lo que los dos cambios no se cancelan.

Gráfico de barras: precio original 300 yuanes, 240 tras 20% de descuento, 288 tras un aumento adicional de 20% — 300 → 240 → 288 yuanes: un descuento del 20% seguido de un aumento del 20% no vuelve al 300, porque el segundo aumento del 20% se aplica sobre el 240

Dónde falla

Un porcentaje utiliza una base declarada.
Restar los porcentajes pierde la base original.
Para cambios compuestos, multiplique los multiplicadores; no sume los porcentajes.

No es cierto: Una disminución del 20% seguida de un aumento del 20% restablece el precio inicial. El aumento del 20% se aplica a una cantidad menor: 100×0.8×1.2=96, no 100.

Aplicarlo

Para proporcionalidad directa use y=kx; para proporcionalidad inversa use y=k/x.
Calcule k a partir de un par conocido antes de usar un nuevo valor.
Indique qué mantuvo constante.

En tu curso

Análisis y Enfoques SL, el curso evaluado por primera vez en 2021.
El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

Multiplicador: Factor que realiza un cambio porcentual en una sola multiplicación.
Un aumento de p% tiene un multiplicador de 1+p/100; una disminución tiene un multiplicador de 1-p/100.
Preste atención: Un porcentaje se basa en un valor indicado.

Escribir desde un precio final de 192

Un precio de 200 disminuye en 20 por ciento y luego aumenta en 20 por ciento.
Encontrar el precio final. Los dos cambios no se cancelan entre sí.

Explorar

Porcentajes, proporción y razonamiento proporcional

Un aumento de p% tiene un multiplicador de 1+p/100; una disminución tiene un multiplicador de 1-p/100

Explique por qué una disminución del 20% seguida de un aumento del 20% da como resultado 288 en lugar de 300.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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