المتوسطات والمدى
| English | العربية |
|---|---|
| mean/miːn/ | متوسط |
| median/ˈmiːdiːən/ | الوسيط |
| mode/məʊd/ | المنوال |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
| outlier/ˈaʊtlaɪə/ | القيمة المتطرفة |
ما هو "العادي"؟
- متوسط الراتب في شركة هو 50 000 — لكن معظم الناس يكسبون أقل بكثير، لأن مديرًا تنفيذيًا واحدًا يكسب ملايين.
- أي متوسط تختاره يغير القصة. المتوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال يخبرون حقائق مختلفة.
مختار المتوسط
اختر المتوسط المناسب لوضع البيانات.
المتوسطات الثلاثة
- المتوسط الحسابي $= \dfrac{\text{sum of values}}{\text{how many}}$.
- الوسيط $=$ القيمة الوسطى عندما تكون البيانات مرتبة.
- المنوال $=$ القيمة الأكثر تكراراً.
$4, 7, 7, 2, 5$: مرتبة $2, 4, 5, 7, 7$. المتوسط الحسابي $= \dfrac{25}{5} = 5$؛ الوسيط $= 5$؛ المنوال $= 7$.
يُظهر مخطط الصندوق والذيل ملخصًا من خمسة أرقام؛ طول الصندوق هو المدى الربيعي
أوجد المتوسط الحسابي لـ: 4، 7، 7، 2، 5.
(4 + 7 + 7 + 2 + 5)/5 = 25/5 = 5.
أوجد المنوال لـ: 4، 7، 7، 2، 5.
يظهر الرقم 7 أكثر من مرة.
أوجد الوسيط لـ: 4، 7، 7، 2، 5.
مرتبة: 2، 4، 5، 7، 7. القيمة الوسطى (3rd) هي 5.
صل كل متوسط أو مقياس بكيفية حسابه.
المتوسط والوسيط والمنوال ثلاثة أنواع من المتوسطات؛ والمدى يقيس التشتت.
المدى
- المدى $=$ الأكبر $-$ الأصغر. وهو يقيس التشتت.
- مدى $4, 7, 7, 2, 5$: $7 - 2 = 5$.
المدى قابل للتشوه بسهولة. قيمة شاذة واحدة (قيمة متطرفة) تجعل المدى كبيرًا جدًا، حتى لو كانت معظم القيم متقاربة. المدى الربيعي (في الدرس التالي) أكثر صلابة.
المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى لمجموعة بيانات صغيرة
أوجد المدى لـ: 4، 7، 7، 2، 5.
أكبر − أصغر = 7 − 2 = 5.
المدى يتأثر بسهولة بقيمة شاذة واحدة.
المدى يستخدم أكبر وأصغر قيمتين فقط، لذا يمكن أن يجعله قيمة شاذة كبيرة جدًا.
المتوسط الحسابي من جدول التكرار
- عندما تأتي القيم مع التكرارات:
- القيم $1, 2, 3$ مع التكرارات $4, 5, 1$: $\;\dfrac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{10} = \dfrac{17}{10} = 1.7$.
القيم 1، 2، 3 تحدث بتكرارات 4، 5، 1. أوجد المتوسط (1 منازل عشرية).
(1·4 + 2·5 + 3·1)/(4+5+1) = 17/10 = 1.7.
أي متوسط يجب استخدامه؟
- المتوسط الحسابي: يستخدم جميع البيانات، لكنه يتأثر بالقيم المتطرفة.
- الوسيط: عادة ما يكون أقل تأثرًا بالقيم المتطرفة من المتوسط — وهو مناسب للبيانات المائلة (مثل الرواتب).
- المنوال: مفيد للبيانات التصنيفية (أكثر لون شعبية، أكثر مقاس أحذية شيوعًا).
ترتيب البيانات على خط أعداد يجعل الوسيط واضحًا — إنه القيمة الموجودة في المنتصف.
الأعداد الزوجية ووسطي الجداول التكرارية
- بالنسبة لـ $2,5,7,10$، الزوج الأوسط هو 5 و 7، لذا الوسيط $M=(5+7)/2=6$؛ لا تختر قيمة وسطية واحدة فقط.
- القيم 1,2,3 بتكرارات 2,3,1 تُعطي ستة ملاحظات. الموضعان 3 و 4 كلاهما 2، لذا الوسيط 2. تحدد التكرارات المراكز الوسطى، وليس عدد صفوف الجدول.
القيم 1، 2، 3 لها تكرارات 2، 3، 1. أوجد الوسيط.
المواقع 3 و4 في الملاحظات الستة هي كلاهما 2.
لقد فهمت الأمر
- المتوسط الحسابي $=$ المجموع ÷ العدد؛ الوسيط $=$ الوسطى عند الترتيب؛ المنوال $=$ الأكثر تكرارًا
- المدى $=$ الأكبر − الأصغر
- متوسط جدول التكرار $= \dfrac{\sum(\text{value} \times \text{freq})}{\sum \text{freq}}$