المتجهات والمقدار
| English | العربية |
|---|---|
| vectors/ˈvektəz/ | متجهات. |
| scalar/ˈskeɪlə/ | كمية قياسية |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | المقدار |
المتجهات ذات الاتجاه
- سرعة الرياح، القوة، السرعة — جميعها لها حجم واتجاه. هذا ما يجعلها متجهات.
- القياسي (مثل درجة الحرارة) له حجم فقط. المتجه يحتاج الاثنين معاً.
كتابة المتجهات
- يُكتب المتجه كعمود $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$، أو كـ $\overrightarrow{AB}$، أو بخط عريض $\mathbf{a}$.
- $x$ هو المكون الأفقي (اليمين موجب)، $y$ هو المكون الرأسي (الأعلى موجب).
القوى مثل الرياح هي متجهات، ولها حجم واتجاه معاً
المتجهات
القوة المحصلة = a + b
تُجمع المتجهات رأساً لذيل؛ المحصلة هي السهم الواحد الذي يحل محلها.
جمع وطرح المتجهات
- اجمع/اطرح مكوناً بمكون: الأعلى بالأعلى، والأسفل بالأسفل.
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
الضرب القياسي: اضرب كلا المكونين في العدد. $3\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$.
a = (3, 1) و b = (2, −4). ما الرقم العلوي لـ a + b؟
3 + 2 = 5.
a = (3, 1) و b = (2, −4). ما الرقم السفلي لـ a + b؟
1 + (−4) = −3.
إذا كان a = (3, 1)، ما الرقم العلوي لـ 4a؟
4 × 3 = 12.
لطرح المتجهات، اطرح كل ______ بشكل منفصل.
اطرح العلوي من العلوي والسفلي من السفلي، تماماً مثل الجمع.
المقدار (الطول)
- يُحسب مقدار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس:
- $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
المقدار، وليس المجموع. طول $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ هو $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$، وليس $3 + 4 = 7$. يجب عليك استخدام نظرية فيثاغورس.
الجمع بقاعدة المثلث: ارسم b من رأس a، ويبدأ a+b من البداية وينتهي في النهاية
جد المقدار (الطول) للمتجه (3, 4).
√(3² + 4²) = √25 = 5.
مقدار المتجه (3, 4) هو 3 + 4 = 7.
يستخدم المقدار نظرية فيثاغورس: √(3² + 4²) = 5، وليس المجموع 3 + 4 = 7.
عكس الاتجاه
- إذا كان متجه يأخذك من A إلى B، فإن عكسه (سلبي) يأخذك من B إلى A.
- بالنسبة لـ $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$، العكس هو $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$. كلاهما له مقدار 5.
المتجه a = (2, −3). أوجد المركبة الرأسية للمتجه −2a.
اضرب المركبة الرأسية: −2 × (−3) = 6.
الضرب القياسي وفحص الصفر
- اضرب كلا المكونين: إذا $\mathbf a=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$، فإن $3\mathbf a=\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}$ و$-\mathbf a=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$. المعامل السلبي يعكس الاتجاه.
- يظل المقدار غير سالب: $|3\mathbf a|=3\sqrt{13}$؛ وللمتجه الصفري مقدار 0. المتجهات الموازية غير الصفرية هي مضاعفات قياسية.
لقد فهمت الأمر
- اجمع/اطرح المتجهات مكوناً بمكون؛ الضرب القياسي يقيّس الاثنين معاً
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$
- مقدار $= \sqrt{x^2 + y^2}$، لذا فإن $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ طوله $5$