بيثاغورس والمثلثات في 3D
| English | العربية |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | قطر الفراغ |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | قطر القاعدة |
القطر عبر غرفة
- كم طول أطول عصا يمكن وضعها داخل صندوق؟ إنه القطر الفراغي — يمتد من ركن إلى الركن البعيد المقابل.
- يُختزل 3D فيثاغورس والمثلثات إلى مثلث مسطح مخبأ داخل الجسم.
الاستراتيجية: إيجاد مثلث داخل المجسم
- كل مشكلة 3D تصبح مشكلة 2D: حدد مثلثًا قائم الزاوية داخل الجسم، ثم طبق فيثاغورس أو حساب المثلثات عليه.
- غالباً ما تجد قطر القاعدة أولاً، ثم تضيف الارتفاع لتكوين مثلث ثانٍ.
نظرية فيثاغورس
في المثلث القائم a² + b² = c². نفس الفكرة، مطبقة مرتين، تعطي أطوالاً داخل أجسام 3-Aبعادية.
صندوق قاعدته 6 سم في 8 سم. أوجد طول قطر القاعدة (سم).
√(6² + 8²) = √100 = 10 سم.
في مسألة 3-Aبعادية، تبحث عن مثلث قائم الزاوية داخل الجسم للتعامل معه.
المنهج الكامل لـ 3-Aبعادية هو اختزاله إلى مثلث قائم الزاوية مسطح.
في مسائل 3Aبعادية، غالباً ما تجد القطر ______ أولاً، ثم تستخدمه مع الارتفاع.
قطر القاعدة (الموجود باستخدام بيثاغورس 2Aبعادي) يصبح ضلعاً من أضلاع مثلث قائم زوايا ثانٍ مع الارتفاع.
مثال محلول — قطر صندوق
- صندوق له قاعدة $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$، ارتفاع $5\text{ cm}$.
- الخطوة 1 — قطر القاعدة: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- الخطوة 2 — القطر الفراغي: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
صندوق له أبعاد 6، 8 و 5 سم. القطر الفراغي هو √(6² + 8² + 5²). أوجد قطره (1 منازل عشرية).
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 سم.
مكعب له ضلع 3 سم. قطره الفراغي هو √(3² + 3² + 3²) = √27. أقطاره (2 منازل عشرية).
√27 = 3√3 ≈ 5.20 سم.
مثال محلول — الزاوية مع القاعدة
- قطر القاعدة ($10$) والارتفاع ($5$) يشكلان مثلثاً قائم الزاوية.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$، وبالتالي $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
اختصار فيثاغورس 3D. القطر المكعب لمكعب $l \times w \times h$ هو $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. بالنسبة لمكعبنا: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ سم.
خطوتان، وليس واحدة. لإيجاد الزاوية، تحتاج إلى قطر القاعدة وال ارتفاع لتكوين المثلث الثاني. استخدام القطر الفراغي كضلع يعطي الزاوية الخاطئة.
قطر القاعدة هو 10 سم وارتفاع الصندوق هو 5 سم. الزاوية مع القاعدة لها tan θ = 5/10. أوجد θ (بالدرجات، 1 منازل عشرية).
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°.
حيث يظهر حساب المثلثات 3D
- الهندسة المعمارية: زاوية عارضة السقف، قطر الغرفة.
- الهندسة: طول دعامة الدعم، زاوية ذراع الرافعة.
يُعد 3D بايثاغورس مجرد تطبيق لـ 2D بايثاغورس مرتين — أولاً على القاعدة، ثم باستخدام الارتفاع.
لقد فهمت الأمر
- في 3D، حدد مثلثاً قائم الزاوية داخل المجسم، ثم استخدم بايثاغورس/المثلثات
- غالباً ما تجد قطر قاعدة أولاً، ثم تضيف الارتفاع
- صندوق $6 \times 8 \times 5$: قطر قاعدة $10$، قطر فراغي $\sqrt{125} \approx 11.2$، زاوية $26.6^{\circ}$