التحويلات الهندسية

المرآة، الدوران، التكبير، الانزلاق

• تستخدم الرسوميات الحاسوبية التحولات لتحريك الشخصيات — الانعكاسات للصور المرآية، والدوران للدوران، والتكبير للتقريب.
• كل تحول يحتاج إلى وصف كامل للحصول على الدرجة الكاملة.

الانعكاس

• يحلق الشكل فوق خط مرآة. أعطِ معادلة الخط.
• انعكس $(3,2)$ حول محور $y$ → $(-3, 2)$ (يتغير إشارة $x$ فقط).
• انعكس حول محور $x$ → $(3, -2)$ (تتغير إشارة $y$ فقط).

الانعكاس حول محور $y$: قلب إشارة $x$. يبقى الشكل بنفس الحجم — فهو متطابق.

الدوران

• يدير الشكل حول مركز. حدد المركز، والزاوية، والاتجاه.
• أدر $(3,1)$ بمقدار $90^{\circ}$ عكس عقارب الساعة حول $O$: $(x,y) \to (-y, x) \to (-1, 3)$.

تُبنى البلاطات الهندسية عن طريق الانعكاس والدوران والإزاحة للأشكال

التكبير

• يغير الحجم بعامل مقياس $k$ من مركز. حدد المركز و$k$.
• كبّر $(1,2)$ من $O$ بمقدار $k=2$ → $(2, 4)$.
• التمدد الأساسي يشمل معاملات كسرية موجبة: $k=\dfrac12$ يجعله أصغر. والتمدد الموسع يشمل أيضاً معاملات سالبة، مثل $k=-1$، الذي يضع الصورة على الجانب المعاكس للمركز.

التكبير يضرب كل مسافة من المركز بعامل المقياس (هنا 2)

الدوران يُدير الشكل حول مركز ثابت، هنا $90^\circ$ عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل

الإزاحة

• تحرك كل نقطة بنفس المقدار. صف باستخدام متجه عمودي $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
• أزح $(5,3)$ بمقدار $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ → $(5-2, 3+4) = (3, 7)$.
• الإزاحة تحافظ على كل شيء: الحجم والشكل والاتجاه.

الإزاحة تحرك كل نقطة بنفس المتجه العمودي، دون أي دوران

لا يشترط أن يكون المركز نقطة الأصل

• كبر الشكل $P=(3,2)$ بمقدار 2 حول $C=(1,1)$. الإزاحة $P-C=(2,1)$ تتضاعف لتصبح $(4,2)$، لذا $P'=C+2(P-C)=(5,3)$.
• لإيجاد مركز من شكل وصورة، ارسم خطوطاً عبر الرؤوس المتناظرة وأمتدها؛ ستلتقي عند المركز. معامل $1/2$ يضع كل نقطة صورة في المنتصف بين المركز ونقطة الأصل. التحويلات الأساسية عمليات مفردة وليست تركيبات.

لقد فهمت الأمر