قوانين الجيب وجيب التمام

عندما لا يكون المثلث قائم الزاوية

• بيثاغورس وقواعد SOH-CAH-TOA يعملان فقط للمثلثات قائمة الزاوية.
• لأي مثلث آخر، تحتاج إلى قانون الجيب أو قانون جيب التمام.

قانون الجيب

• لأي مثلث بأضلاع $a, b, c$ مقابل زوايا $A, B, C$:

• استخدمه عندما تعرف: ضلعاً وزاويته المقابلة، بالإضافة إلى معلومة أخرى واحدة.

$y=\sin x$ و $y=\cos x$ هما موجتان ناعمتان بين $-1$ و $1$؛ جيب التمام هو جيب مُزاح لليسار بمقدار $90^\circ$

قانون جيب التمام

• استخدمه عندما تعرف: ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (لإيجاد الضلع الثالث)، أو الأضلاع الثلاثة جميعاً (لإيجاد زاوية).

في أي مثلث، الأضلاع $a,b,c$ تقع مقابل الزوايا $A,B,C$؛ تستخدم قوانين الجيب وجيب التمام هذه

مساحة أي مثلث

• هذا ينطبق على أي مثلث (ليس فقط القائمة الزاوية)، باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.

مثال محلول

• $b = 7$، $c = 8$، الزاوية المحصورة $A = 40^{\circ}$.
• $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$، إذن $a = 5.2$ سم.

قانون جيب التمام يعمم بيثاغورس: عندما $A = 90^{\circ}$، $\cos A = 0$ وتحصل على $a^2 = b^2 + c^2$.

إيجاد زاوية والتحقق من الاحتمال الآخر

• مع الأضلاع $a=5,b=7,c=8$، استخدم $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. وبالتالي $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
• في سؤال قاعدة الجيب، تعطي $a=10,A=30^{\circ},b=12$ $\sin B=b\sin A/a=0.6$. كلا $B\approx36.9^{\circ}$ و $143.1^{\circ}$ يتركان زاوية ثالثة موجبة، لذا فإن وجود مثلثين ممكن. استخدم أي شرط إضافي، مثل كون الزاوية B منفرجة، للاختيار.

المساحة بزاوية محصورة

• ضلعان طولاهما 7 سم و8 سم محصوران بينهما الزاوية $40^{\circ}$. استخدم $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
• يجب أن تقع الزاوية بين الضلعين المستخدمَين. احتفظ بوضع الدرجات والقيم المثلثية الكاملة حتى التقريب النهائي.

لقد فهمت الأمر