القيم الدقيقة، الرسوم البيانية ومعادلات المثلثات
| English | العربية |
|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | القيم الدقيقة |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | رسوم بيانية للمثلثات |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | المقاربات |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | التناظر |
القيم التي يجب حفظها بالذاكرة
- بعض قيم المثلثات مهمة جدًا لدرجة أنك تحتاجها بدون الآلة الحاسبة. تأتي من مثلثين قائمين خاصين: $45$-$45$-$90$ و $30$-$60$-$90$.
جدول القيم الدقيقة
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | غير معرف |
حيلة للحفظ لجيب التمام: $0, 1, 2, 3, 4$ تحت الجذر وفوق $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. جيب التمام هو العكس.
عجلة دوارة: نقطة على الحافة ترسم منحنى الجيب
رسوم بيانية للمثلثات & معادلات
(cos θ, sin θ)
عندما تدور الزاوية، sin و جيب التمام (cos). ترسمان موجاتهما — وتتكرر كل 360°.
ما هي القيمة الدقيقة لـ sin 30°؟ (كعدد عشري)
sin 30° = 1/2 = 0.5.
ما هي القيمة الدقيقة لـ tan 45°?
tan 45° = 1 (المقابل = المجاور في مثلث 45-45-90).
cos 60° = 1/2.
cos 60° = 1/2 هي إحدى القيم الدقيقة الأساسية للحفظ.
منحنيات المثلثات
- $y = \sin x$ و $y = \cos x$ هما موجتان تتأرجحان بين $-1$ و $1$.
- $y = \tan x$ يتكرر كل $180^{\circ}$ ولها مقاربات رأسية عند $90^{\circ}$ و $270^{\circ}$.
منحنيات المثلثات هي موجات — الجيب وجيب التمام يتأرجحان بين $-1$ و $1$، والتانجنت يتكرر كل $180^{\circ}$.
حلّان. عادةً ما يكون للمعادلة المثلثية اثنان من الحلول في $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. بالنسبة لـ $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ أو $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. لا تنسَ الحل الثاني.
حل المعادلات المثلثية
- أوجد الحل الأول باستخدام الدالة العكسية.
- استخدم التناظر في الرسم البياني لإيجاد الحل الثاني:
- لجيب موجب في $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$، الحل الثاني هو $180^{\circ}-x$؛ وللقوى السالبة استخدم الجزء السفلي من الرسم البياني.
- $\cos x = k$: الحل الثاني هو $360^{\circ} - x$.
المثلثان الخاصان يعطيان القيم الدقيقة: مثلث $45^\circ$ ومثلث $30^\circ$-$60^\circ$
حل sin x = √3/2 من 0–360°. إجابة واحدة هي 60°. ما هي الإجابة الأخرى (درجات)?
الموجة الجيبية متناظرة حول 90°: 180 − 60 = 120°.
حل 2cos x + 1 = 0 من 0–360°. إجابة واحدة هي 120°. ما هي الإجابة الأخرى (درجات)?
cos x = −1/2 يعطي x = 120° أو 360 − 120 = 240°.
إذا كان sin x = k له إجابة واحدة x = 40°، فإن الإجابة الثانية هي 180 − ______ = ______°.
الحل الثاني لجيب التمام هو 180° − 40° = 140°.
أمثلة محلولة
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ أو $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ أو $240^{\circ}$.
قيم مثلثية سالبة ومعادلات الظل
- في $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$، تكون $\sin x=-1/2$ سالبة تحت المحور الأفقي: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. يجب استبدال قيمة الآلة الحاسبة $-30^{\circ}$ بمقابلها $330^{\circ}$ داخل الفترة المطلوبة.
- يتكرر الظل بعد $180^{\circ}$: $\tan x=1$ يعطي $x=45^{\circ},225^{\circ}$ في هذه الفترة. عند $0$، $90$، $180$، $270$، $360^{\circ}$ تحقق من الأطراف وقيم عدم التعريف بدلاً من افتراض أن كل معادلة لها حلان بالضبط.
أوجد الحل الأصغر لمعادلة sin x = −1/2 من أجل 0° ≤ x < 360°.
دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع؛ الحلول هي 210° و330°.
لقد فهمت الأمر
- تعرف القيم الدقيقة: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$، $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$، $\tan 45^{\circ} = 1$
- موجات الجيب وجيب التمام تمتد بين $-1$ و $1$
- عادةً ما يكون للمعادلة المثلثية اثنان من الحلول في $0^{\circ}$–$360^{\circ}$