المثلثات في المثلثات القائمة الزاوية
| English | العربية |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | علم المثلثات |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | عكس |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | مجاور |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | زاوية الارتفاع |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | زاوية الانخفاض |
ما ارتفاع تلك الشجرة؟
- لا يمكنك تسلقها بشريط قياس. لكن الوقوف على مسافة $10$ متر والنظر لأعلى نحو $50^{\circ}$، يعطيك حساب المثلثات الارتفاع: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ متر.
- حساب المثلثات يقيس ما لا يمكن قياسه — باستخدام الزوايا وطول واحد معروف.
تسمية الأضلاع
- في المثلث القائم الزاوية، سمّ الأضلاع بالنسبة للزاوية $\theta$:
- المقابل (O): الضلع المقابل لـ $\theta$.
- المجاور (A): الضلع المجاور لـ $\theta$ (ليس الوتر).
- الوتر (H): أطول ضلع، مقابل الزاوية القائمة.
SOH-CAH-TOA: النسب الثلاثة التي تربط الزوايا بطول الأضلاع في المثلثات القائمة.
المثلثات القائمة الزاوية
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA يأتي من هذه الدائرة — sin و جيب التمام (cos). و tan للزاوية.
النسب الثلاثة — SOH CAH TOA
- لإيجاد ضلع: استخدم النسبة واضرب أو اقسم.
- لإيجاد زاوية: استخدم العكسية ($\sin^{-1}$، $\cos^{-1}$، $\tan^{-1}$).
المقابل $4$، المجاور $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$، إذن $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
النظر لأعلى نحو برج يتضمن زاوية ارتفاع
في مثلث قائم الزاوية الوتر 10 سم والزاوية 30°. الضلع المقابل = 10 × sin 30°. أوجد طوله (سم).
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 سم.
الضلع المقابل هو 4 سم والضلع المجاور هو 3 سم. أوجد الزاوية (بالدرجات، 1 خانات عشرية).
tan θ = 4/3، إذن θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°.
الضلع المجاور هو 8 سم والزاوية 60°. الوتر = 8 / cos 60°. أوجد طوله (سم).
cos 60° = 0.5، إذن الوتر = 8 / 0.5 = 16 سم.
في SOH CAH TOA، sin θ = المقابل / ______.
SOH: sin θ = المقابل / الوتر.
زوايا الارتفاع والانحدار (موسّع)
- زاوية الارتفاع: النظر لأعلى من الأفقي.
- زاوية الانحدار: النظر لأسفل من الأفقي.
- كلاهما يُقاس من الأفقي، وليس من العمودي.
من الأفقي، دائمًا. تُقاس زاوية الارتفاع/الانحدار من الخط الأفقي، وليس من العمودي. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذه المسائل.
تسمية الأضلاع من الزاوية $\theta$: المقابل مقابله، المجاور بجانبه، والوتر مقابل الزاوية القائمة (SOH-CAH-TOA)
على بُعد 50 م، زاوية الارتفاع إلى قمة برج هي 40°. الارتفاع = 50 × tan 40°. أوجد القيمة (بالمتر، 1 خانات عشرية).
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 م.
تُقاس زاوية الارتفاع من العمودي.
تُقاس زوايا الارتفاع والانحدار كلاهما من الأفقي، وليس العمودي.
مثال محلول
- $50$ متر من برج، زاوية ارتفاع $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ متر. احتفظ بالقيمة الكاملة للمماس من الآلة الحاسبة قبل التقريب.
زاوية الارتفاع تنظر للأعلى من الأفقي؛ زاوية الانحدار تنظر للأسفل
لقد فهمت الأمر
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- استخدم العكسية ($\tan^{-1}$ إلخ.) لإيجاد زاوية
- الارتفاع ينظر للأعلى، الانحدار ينظر للأسفل — كلاهما من الأفقي