نظرية فيثاغورس
| English | العربية |
|---|---|
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | فيثاغورس |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | مثلث قائم الزاوية |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | الوتر |
| Pythagorean triples/ˈpaɪθəɡɔːrɪən ˈtrɪplz/ | ثلاثيات فيثاغورس |
الحبل الذي صنع زاوية قائمة
- استخدم مهندسو البناء المصريون حبلًا به 12 عقدة متساوية المسافة لإنشاء زاوية قائمة مثالية: مدّه لتشكيل مثلث بأضلاع 3 و 4 و 5 — الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون دائمًا $90^{\circ}$.
- أثبت بيثاغورس لماذا يعمل هذا، ولا يزال نظريته أكثر نتيجة مستخدمة في جميع أنحاء الرياضيات.
النظرية
- في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
- $c$ هو الوتر — وهو أطول ضلع، مقابل الزاوية القائمة.
المثلث الكلاسيكي 3-4-5: $3^2 + 4^2 = 5^2$. تعمل النظرية على كل مثلث قائم الزاوية.
$c$ يجب أن يكون الوتر. المعادلة $a^2 + b^2 = c^2$ تعمل فقط عندما يكون $c$ هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. إذا قمت بتسمية ضلع خاطئ باسم $c$، فستحصل على إجابة خاطئة.
نظرية فيثاغورس
a² + b² = c²
مجموع مربعي الضلعين في المثلث القائم يساوي دائماً مربع الضلع الوتر.
مثلث قائم الزاوية ضلعه القصيران 3 سم و4 سم. أوجد الوتر (سم).
√(3² + 4²) = √25 = 5 سم.
وتر المثلث القائم الزاوية هو:
الوتر هو أطول ضلع ويقابل زاوية 90°.
في نظرية فيثاغورس a² + b² = c²، يجب أن يكون الضلع c هو ______.
يجب أن يكون c دائماً هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة).
إيجاد ضلع مفقود
- إيجاد الوتر: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (اجمع وجذر تربيعي).
- إيجاد ضلع قصير: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (اطرح وجذر تربيعي).
الوتر $13$، الضلع القصير $5$: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
بيثاغورس كمساحات: المربعات على الضلعين القصيرين ($9+16$) تجمعا لتساوي المربع على الوتر ($25$)
الوتر هو 13 سم وضلع قصير واحد هو 5 سم. أوجد الضلع القصير الآخر (سم).
√(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 سم.
مثلث قائم الزاوية وتره 10 سم وضلع قصير واحد 6 سم. أوجد الضلع القصير الآخر (سم).
√(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 سم.
triples بايثاغورية يجب معرفتها
- $3, 4, 5$ — أصغر triple.
- $5, 12, 13$ — الأكثر شيوعًا في المرحلة التالية.
- المضاعفات تعمل أيضًا: $6, 8, 10$ و $9, 12, 15$ هما أيضًا مثلثات قائمة الزاوية.
- اكتشاف الـ triple يوفر وقت الحساب في الامتحانات.
المثلث الذي أطوال أضلاعه 6 و8 و10 هو مثلث قائم الزاوية.
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². إنه مضاعف لثلاثية 3-4-5.
لقد فهمت الأمر
- $a^2 + b^2 = c^2$، مع $c$ كـ وتر (مقابل الزاوية القائمة)
- لإيجاد ضلع قصير، اطرح: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ و $5$-$12$-$13$ تستحق التذكر