النمو والتناقص الأسي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | النمو الأسي |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | فوائد مركبة |
| decay/dɪˈkeɪ/ | تآكل |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | استهلاك |
| half-life/hɑːf laɪf/ | نصف العمر |
بكتيريا واحدة تصبح ملياراً
- تنقسم البكتيريا كل 20 دقيقة. بعد 10 ساعات (30 انقسام)، خلية واحدة تصبح $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — أكثر من مليار.
- هذا النمو الأسي: نفس نسبة الزيادة في كل فترة، تتراكم.
- النمو الخطي يضيف مقدارًا ثابتًا؛ النمو الأسي يُضاعف — وغالبًا ما يفوز في النهاية.
صيغة الفائدة المركبة
- عندما يتغير مقدار بنسبة ثابتة في كل فترة:
- $P$ = القيمة الابتدائية، $r$ = معدل النسبة المئوية لكل فترة، $t$ = عدد الفترات.
- النمو: $r > 0$؛ التناقص: $r < 0$ (أو استخدم مضاعف أقل من 1).
يبدأ النمو الأسي (المنحنى) ببطء لكنه في النهاية يسبق النمو الخطي (الخط المستقيم) بشكل كبير).
فائدة مركبة
ينمو المال بمقدار (1 + r) كل عام، لذا منحنيات الفائدة المركبة فوق الفائدة البسيطة. اسحب المعدل وعدد السنوات.
النمو والتناقص الأسي
y = a·bˣ
غيّر القاعدة b: b > 1 ينمو، 0 < b < 1 يتناقص — مفيد للفائدة والسكان.
تخسر سيارة 15% من قيمتها كل عام. ما عامل الضرب السنوي الذي تستخدمه؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
خسارة 15% تترك 85%، لذا عامل الضرب هو 0.85.
انخفاض قيمة السيارة سنوياً مثال على:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
خسارة نسبة ثابتة كل عام هي تناقص أسي (عامل ضرب < 1، يُطبق بشكل متكرر).
صيغة النمو المركبة هي: النهائي = P × (1 + ______)^t، حيث r هو معدل النسبة المئوية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يجب تحويل المعدل r% إلى عدد عشري: r/100. لذا عامل الضرب هو (1 + r/100).
التناقص الأسي والاهتلاك
- التناقص يعمل بنفس الطريقة بمضاعف أقل من 1.
- سيارة قيمتها 20 000 تفقد 15% كل عام → المضاعف $0.85$.
- بعد 4 سنوات: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
عمر النصف. يتناقص نظير مشع بنسبة 10% سنويًا. "عمره النصف" (الوقت اللازم للتناقص للنصف) هو $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ سنوات — يمكن إيجاده بحل $0.9^t = 0.5$.
سيارة قيمتها 20000 تنخفض قيمتها 15% سنوياً. قيمتها بعد 4 سنوات (أقرب مضاعف لـ 10) هي:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
مثال محلول
- تعداد سكاني 5000 ينمو 8% سنويًا. بعد 6 سنوات:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
مركب ≠ بسيط. 8% سنويًا لمدة 6 سنوات ليس $8 \times 6 = 48\%$ إجمالي (ذلك سيُعطيك $5000 \times 1.48 = 7400$). المركب يعطي $58.7\%$ إجمالي — تقريبًا 11% أكثر، لأن نمو كل عام يُنتج نموًا أيضًا.
سكان عددهم 5000 ينمون 8% سنوياً. ما عدد السكان بعد 6 سنوات (أقرب عدد صحيح)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
نمو 8% سنوياً لمدة 6 سنوات يعطي زيادة إجمالية تبلغ 48% بالضبط.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الفائدة المركبة تعطي 1.08⁶ ≈ 1.587، وهي زيادة 58.7% — أكثر من 48% لأن النمو يولد نمواً آخر.
حيث يظهر النمو الأسي
- الأوبئة: الانتشار المبكر غالبًا ما يكون أسيًا (كل شخص مصاب يُصيب آخرين).
- الاستثمارات: الفائدة المركبة هي نمو أسي لأموالك.
- التكنولوجيا: تنبأت قانون مور بتضاعف قوة الحوسبة كل ~2 سنة لعقود.
لقد فهمت الأمر
- التغير الأسي يستخدم صيغة المركب $P(1 + r/100)^t$
- النمو = مضاعف $> 1$؛ التناقص/الاهتلاك = مضاعف $< 1$
- خسارة سنوية 15% → مضاعف $0.85$؛ بعد 4 سنوات: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- الأسي يتفوق دائمًا على الخطي في النهاية — المركب يُنتج نموًا على نمو