الأسس والجذور والأرقام الأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | أس |
| index/ˈɪndeks/ | أُسس |
| base/beɪs/ | قاعدة |
| square root/skweə ruːt/ | الجذر التربيعي |
| cube root/kjuːb ruːt/ | الجذر التكعيبي |
| laws of indices/lɔːz ɒv ˈɪndɪsiːz/ | قوانين الأسس |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | المقلوب |
مشكلة حبوب رقعة الشطرنج
- قدم ملك مكافأة على اختراع الشطرنج. طلب المخترع 1 حبة أرز في المربع الأول، 2 في الثاني، 4 في الثالث، مضاعفاً العدد في كل مرة.
- عند المربع الـ64: $2^{63}$ حبة — أكثر من كل الأرز الذي كان موجوداً على وجه الأرض.
- هذا هو قوة الأسس — الضرب المتكرر ينمو بسرعة مذهلة.
معمل الأسس والجذور
مربع = x^2
غيّر الأساس وانظر كيف تنمو الأسس بينما تلغي الجذور الأسس.
القوى
- القوة (أو الأس) تشير إلى الضرب المتكرر: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- القاعدة هي الرقم المضروب ($2$)؛ الأس (أو المُقدِّم) يخبرك بالعدد المرات ($5$).
- احفظ مربعاتك حتى $15^2 = 225$ ومكعباتك حتى $5^3 = 125$.
الجذور
- الجذر التربيعي يعكس عملية التربيع: $\sqrt{169} = 13$ (لأن $13^2 = 169$).
- الجذر التكعيبي يعكس عملية التكرير: $\sqrt[3]{8} = 2$ (لأن $2^3 = 8$).
- الجذور والقوى عمليات عكسية.
قطر المربع هو الجذر التربيعي لمضعوف مربع طول ضلعه — الهندسة تمنحنا الجذور.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. قوّم القوة والجذر أولاً، ثم اضرب.
احسب 5² × ∛8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5² = 25 و ∛8 = 2، لذا 25 × 2 = 50.
قوانين الأسس
- هذه القواعد الثلاث تسمح لك بتبسيط أي تعبير أسّي:
الأساسات متطابقة فقط. لا يمكنك جمع أو طرح الأسس إلا إذا كانت الأساسات متساوية. $2^3 \times 3^2$ لا يُبسط إلى $6^5$ — لأن الأساسات مختلفة.
باستخدام قوانين الأسس، ما هو 2³ × 2⁴ كعدد واحد؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
الأسصفر والسالب والكسري
- $a^0 = 1$ لأي $a$ غير صفري (حتى $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — الأس السالب يعني مقلوب ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- موسّعة: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — الأسس الكسرية هي جذور ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
قيّم 81^(1/2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
81^(1/2) = √81 = 9.
ماذا يساوي 3⁻²؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
3⁻² = 1/3² = 1/9. الأس السالب يعني المقلوب، وليس السالب.
أي عدد غير صفري a، فإن a⁰ = 1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تعطي قاعدة الصفر الأس a⁰ = 1 لجميع a ≠ 0.
أكمل: 4⁻¹ = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
4⁻¹ = 1/4 = 0.25. الأس -1 يعطي المقلوب.
لقد فهمت الأمر
- اضرب قوى ذات قاعدة متشابهة → اجمع الأسس؛ قسّم → اطرح؛ قوة للقوة → اضرب
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$