مجموعات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| set/set/ | مجموعة |
| elements/ˈelɪmənts/ | عناصر |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | المجموعة الشاملة |
| empty set/ˈempti set/ | المجموعة الخالية |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | التقاطع |
| union/ˈjuːnɪən/ | الاتحاد |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | المتممة |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | مخطط فين |
صف الخريجين 2024
- مدرسة بها 30 طالباً. يدرس 18 منهم الفرنسية، و12 يدرسون الإسبانية، و5 يدرسون كلا اللغتين.
- كم عدداً يدرسان أيًا منهما؟ لا يمكنك مجرد الجمع — بل تحتاج إلى مجموعات.
- المجموعات هي لغة التجميع، وهي الأساس لكل شيء من قواعد البيانات إلى الاحتمالات.
ما هو المجموعة؟
- المجموعة هي تجميع لأجسام مختلفة (العناصر أو الأعضاء).
- تُكتب بين أقواس مجعدة: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ تعني "$3$ عنصر في $A$"؛ بينما $7 \notin A$ تعني "$7$ ليس عنصراً فيها".
- المجموعة الشاملة $\xi$ تحتوي على كل ما يتم مناقشته. أما المجموعة الفارغة $\emptyset$ فلا تحتوي على عناصر.
$A\cap B=\{6\}$ هو الرقم الوحيد في كلا الدائرتين؛ $A\cup B$ هو كل ما بداخل أي دائرة
عمليات المجموعات على مخطط فين
يُظهر مخطط فين مجموعتين. مرر عبر العمليات لترى أي منطقة يقوم الاتحاد والتقاطع والمكمّل بتظليلها.
المجموعة الخالية ∅ هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المجموعة الخالية لا تحتوي على عناصر، لذا فهي محتواة بشكل ضمني في كل مجموعة.
التقاطع والاتحاد
- التقاطع $A \cap B$: العناصر الموجودة في كلا $A$ و $B$.
- الاتحاد $A \cup B$: العناصر الموجودة في $A$ أو $B$ (أو كليهما).
- المكملة $A'$: كل ما في المجموعة الشامل الذي ليس في $A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$، $B = \{3, 4, 5, 6\}$. ثم $A \cap B = \{3, 4\}$ و $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10} و B = {3,6,9}. كم عدد العناصر الموجودة في A ∩ B؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
العنصر 6 فقط موجود في المجموعتين، إذن A ∩ B = {6}، وهي تحتوي على ⟨1⟩ عنصر.
لنفس A و B، كم عدد العناصر الموجودة في A ∪ B؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}، والذي يحتوي على 7 عناصر.
رمز ∩ يعني:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∩ هو التقاطع (عناصر في كل من A و B)؛ ∪ هو الاتحاد.
مخططات فن
- مخطط فن يرسم المجموعات كدوائر متداخلة داخل مستطيل (المجموعة الشاملة).
- المنطقة المتداخلة = تقاطع؛ كل ما بداخل دائرة = أعضاء تلك المجموعة.
تُظهر مخططات فن كيفية ارتباط المجموعات — هنا، كل عدد طبيعي هو أيضاً عدد صحيح ونسبي.
لا تحسب مرتين. عند إيجاد $n(A \cup B)$، استخدم $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. التقاطع يُحسب مرة واحدة في كل مجموعة، لذا اطرحه مرة واحدة.
مثال محلول
- 30 طالباً، $F =$ فرنسية (18)، $S =$ إسبانية (12)، $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- لا أحد $= 30 - 25 = 5$ يدرسان أيًا من اللغتين.
n(A) = 5، n(B) = 3، n(A ∩ B) = 1. أوجد n(A ∪ B).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
في فصل دراسي عدد طلابه 30، يدرس 18 الفرنسية، 12 الإسبانية، و 5 يدرسان كليهما. كم عدد الذين لا يدرسون أي منهما؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. الذين لا يدرسون أيهما = 30 − 25 = 5.
ثلاث مجموعات (موسّعة)
- في مخطط فن لمجموعة ثلاثية، املأ التقاطع الثلاثي أولاً، ثم الأجزاء التي تنتمي إلى مجموعتين فقط، ثم مناطق المجموعة الواحدة. إذا كان $n(A\cap B)=7$ يتضمن 2 في المجموعات الثلاث، فإن منطقة AB فقط تساوي $7-2=5$.
- بالنسبة لـ $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$، زوّد تقاطعات AB=4، AC=3، BC=2 والثلاثي=1، تكون الاتحاد $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. يُعاد إضافة الجزء الثلاثي لأن ثلاث عمليات طرح مزدوجة أزالته مراراً وتكراراً.
أحجام المجموعات هي 12,10,9؛ تقاطعات الأزواج 4,3,2؛ تقاطع الثلاثي 1. أوجد حجم الاتحاد.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
أضف المفردات، اطرح جميع الأزواج، أضف التقاطع الثلاثي: 31−9+1 = 23.
لقد فهمت الأمر
- $A \cap B$ = تقاطع (كلا); $A \cup B$ = اتحاد (إما أو كلا; $A'$ = مكملة
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — اطرح التداخل
- مخططات فن تُظهر علاقات المجموعات بصرياً؛ المستطيل هو المجموعة الشاملة
- $\emptyset$ = مجموعة فارغة؛ $\xi$ = مجموعة شاملة