أنواع الأعداد
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rational/ˈræʃənl/ | نسبي |
| irrational/ɪˈræʃənl/ | غير نسبي |
| natural numbers/ˈnætʃərəl ˈnʌmbəz/ | أعداد طبيعية |
| integers/ˈɪntɪdʒəz/ | أعداد صحيحة |
| factor/ˈfæktə/ | عامل |
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | مضاعف |
| prime/praɪm/ | عدد أولي |
| prime factorisation/praɪm ˌfæktəraɪˈzeɪʃn/ | تحليل إلى عوامل أولية |
| HCF/ˌeɪtʃ siː ˈef/ | العامل المشترك الأكبر |
| LCM/ˌel siː ˈem/ | المضاعف المشترك الأصغر |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | المقلوب |
سؤال أثار حيرة الإغريق القدماء
- هل كل عدد كسر؟ اعتقد الإغريق نعم — حتى أثبت شخص ما أن $\sqrt{2}$ لا يمكن كتابته كـ $\dfrac{a}{b}$.
- أسطورة تقول إن المستكشف تم رميه فوق متن السفينة لكشف هذه الحقيقة المزعجة.
- اليوم نصنف الأعداد إلى عائلات، والفصل بين — الأعداد النسبية وغير النسبية — لا يزال هو الفاصل الكبير.
عائلات الأعداد
- الأعداد الطبيعية $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — أعداد العد (بعض التعاريف تشمل $0$).
- الأعداد الصحيحة $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — أعداد صحيحة، موجبة وسالبة وصفر.
- الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ — أي شيء يمكن كتابته $\dfrac{a}{b}$ حيث $a, b$ أعداد صحيحة و$b \neq 0$.
- الأعداد غير النسبية — كل ما تبقى ($\pi$، $\sqrt{2}$، $e$): لا يمكن التعبير عنها بكسر.
Natural → Integer → Rational، كل عائلة أكبر. الأعداد غير النسبية تعيش خارجها.
مجموعات الأعداد
كل عدد عددي هو أيضاً عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو نسبي - انظر كيف تتداخل مجموعات الأعداد، وكيف تدمج الاتحاد والتقاطع بينها.
صوّغ كل عدد مع أصغر عائلة عددية له.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
−5 و 0 هما عددان صحيحان (أعداد صحيحة، بما في ذلك السالبة). 3/7 نسبي (كسر من أعداد صحيحة). √3 غير نسبي (لا يمكن كتابته على صورة a/b).
العوامل والمضاعفات والأعداد الأولية
- عامل $n$ يقبل القسمة على $n$ بدون باقٍ. عوامل $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
- مضاعف $n$ هو $n \times$ عدد صحيح. مضاعفات $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$.
- العدد الأولي له بالضبط عاملان: $1$ ونفسه.
- $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ أولية. $1$ ليست أولية (عامل واحد فقط).
1 ليس عدداً أولياً. يجب أن يكون العدد الأولي له عاملان مختلفان تماماً. $1$ له عامل واحد فقط (نفسه)، لذا يفشل في التعريف.
كل عدد طبيعي عدد صحيح، وكل عدد صحيح نسبي، وكل عدد نسبي حقيقي؛ الأعداد غير النسبية مثل $\pi$ و$\sqrt{2}$ حقيقية وليست نسبية
أي من هذه الأعداد هو عدد أولي؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
13 له عاملان بالضبط (1 و 13). 1 ليس أولياً؛ 9 = 3×3؛ 15 = 3×5.
العدد 1 هو عدد أولي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لـ 1 عامل واحد فقط (نفسه). يجب أن يحتوي العدد الأولي على عاملين مختلفين بالضبط.
أصغر عدد أولي هو ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
2 هو أصغر (وهو الوحيد الزوجي) عدد أولي.
التحليل إلى عوامل أولية، القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
- اكتب أي عدد كحاصل ضرب أعداد أولية: $72 = 2^3 \times 3^2$، $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
- القاسم المشترك الأكبر (HCF): خذ أقل أس لكل عدد أولي مشترك.
- HCF للعددين $72$ و$120$ هو $= 2^3 \times 3 = 24$.
- المضاعف المشترك الأصغر (LCM): خذ أعلى أس لكل عدد أولي ظاهر.
- المضاعف المشترك الأصغر لـ $72$ و $120$ $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.
استمر في التحليل إلى العوامل الأولية حتى ينتهي كل فرع برقم أولي (مُحاط بدائرة)؛ وتجميع هذه العوامل يعطي $72 = 2^3 \times 3^2$
فحص سريع. حاصل القسمة المشتركة × المضاعف المشترك يجب أن يساوي حاصل ضرب العددين: $24 \times 360 = 8640$ و $72 \times 120 = 8640$. ✓
أوجد القاسم المشترك الأكبر (HCF) للعددين 72 و 120. (72 = 2³×3²، 120 = 2³×3×5)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
خذ أقل القوى المشتركة: 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين 72 و 120.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
خذ أعلى القوى: 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.
حقيقة ممتعة
- يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (ثبت ذلك إقليد حوالي 300 قبل الميلاد).
- أكبر عدد أولي معروف (حتى 2024) يحتوي على أكثر من 41 مليون خانة رقمية — وهو $2^{136{,}279{,}841} - 1$، أي عدد ميرسين.
المقلوبات وقيمة المكان
- مقلوب عدد غير صفري يضربه في 1: بالنسبة لـ $3/7$ هو $7/3$، لأن $(3/7)(7/3)=1$. الصفر ليس له مقلوب.
- جمّع الأعداد الكبيرة في مجموعات الآلاف: 6000042 هي ستة ملايين وأربعان. $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$؛ الأصفار تحتل مواقع القيمة الناقصة.
أوجد المقلوب لـ 5/9.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المقلوب هو 9/5 = 1.8؛ وضرب 5/9 يعطي 1.
لقد فهمت الأمر
- طبيعي $\mathbb{N}$ → عدد صحيح $\mathbb{Z}$ → نسبي $\mathbb{Q}$؛ أما الأعداد غير النسبية فتقع خارجها
- أولي = له عاملان فقط (الرقم $1$ ليس أولياً)
- القاسم المشترك الأكبر (HCF) = أقل قوى أولية مشتركة؛ المضاعف المشترك الأصغر (LCM) = أعلى قوى أولية لكل عدد أولي
- $72 = 2^3 \times 3^2$، $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ → HCF $24$، LCM $360$