المعادلات التفاضلية والحلول العددية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | شرط أولي |
ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟
- معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
- تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx). استخدم شرطاً ابتدائياً لإيجاد A. تأخذ طريقة أويلر الصيغة y_next=y+h f(x,y)، مع خطوة h مختارة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ dy/dx=0.5y مع y(0)=2، ماذا يحدد الشرط الأولي؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الفصل يعطي العائلة y=Ae^(0.5x) مع ثابت حر. بتعويض x=0، y=2 نثبت A=2، مما يختار حلاً خاصاً واحداً من العائلة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.
المعادلات التفاضلية والحلول العددية
لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx)
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
باستخدام طريقة أويلر بخطوة h=0.2 للدالة y prime=0.5y، وبمعلومية y₀=2، أوجد y₁.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تستخدم أويلر الصيغة y₁=y₀+h f(y₀)=2+0.2×0.5×2=2.2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً متوازياً y=0. دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل حجم خطوة يعطي نفس تقريب أويلر تمامًا. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.
لذلك التقريب، أوجد قيمة y₂.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
كرر العملية بدءاً من y₁: y₂=2.2+0.2×0.5×2.2=2.42.
كل خطوة حجم تعطي نفس تقريب أويلر تمامًا.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ ولا يحل محل عملية التكامل. القسمة على y قد تستبعد حلاً توازنيًا y=0. دقة أويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
تفسير موقف جديد
- بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، اجمع الدالة المكملة مع تكامل جزئي مناسب، ثم طبق شروط البداية المطلوبة. هذا ضمن نطاق Further Pure؛ تحقق من الوحدة المحددة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
لـ y=2e^(0.5x)، أوجد قيمة y عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند x=0 تكون الدالة الأسية مساوية لـ 1، إذن y=2.
طابق كل خطوة بغرضها في حل dy/dx=ky.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الفصل يجمع كل متغير في طرف؛ التكامل يعطي العائلة؛ والشرط الأولي يختار الحل الخاص.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- edexcel IAL رياضيات متقدمة؛ الوحدة الرسمية FP2. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ إنه ليس شرط دفع إضافي.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.