Second-order linear differential equations
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | الدالة التكميلية |
لماذا نحتاج إلى شرطين أوليين؟
- نموذج الإزاحة يتضمن كلًا من السرعة والتسارع. لا يمكن حل معادلة معدل من الرتبة الأولى فقط أن يدمج الشرطين الأوليين.
- تدرس هذه الدرس الدالة المكملة: الحل العام لمعادلة التفاضل الخطية المتجانسة المرتبطة.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ y''+ay'+by=f(x)، حل المعادلة التربيعية المساعدة للجزء المتجانس. أضف تكاملًا جزئيًا مناسبًا للحد المحفز. الجذور المكررة والمعقدة تتطلب أشكالها الصحيحة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does a second-order equation need TWO conditions to fix a solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The complementary function y=Ae^x+Be^(2x) carries two arbitrary constants. Each condition gives one linear equation in A and B; only two independent conditions fix both.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل y double prime-3y prime+2y=0، المعادلة المساعدة هي m²-3m+2=0 مع الجذور 1,2. ومن ثم y=Ae^x+Be^(2x). مع y(0)=1 و y prime(0)=0، A+B=1 و A+2B=0، لذا A=2،B=-1.
Second-order linear differential equations
For y double prime+ay prime+by=f(x), solve the auxiliary quadratic for the homogeneous part
Compare the model with the worked case and explain one change.
For A+B=1 and A+2B=0, find A.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Subtract A+B=1 from A+2B=0: B=-1, hence A=2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الثوابت العشوائية الاثنان يحتاجان إلى شرطين مستقلين. إذا كان التكامل الجزئي التجريبي يكرر حدًا من الدالة المكملة، اضرب في x كما هو مطلوب. لا تتخلص من حل تذبذبي صالح لأن جذور المساعدة معقدة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
قيمة ابتدائية واحدة كافية دائمًا لتحديد كلا الثابتين في الحل العام من الرتبة الثانية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.
For those conditions, find B.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Subtract the first equation from the second to obtain B=-1.
One initial value is always sufficient to determine both constants in a second-order general solution.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Two arbitrary constants need two independent conditions. If the trial particular integral duplicates a complementary-function term, multiply the trial by x as required. Do not discard a valid oscillatory solution because the auxiliary roots are complex.
تفسير موقف جديد
- اشتق التعبير النهائي عوض به في معادلة التفاضل الأصلية. تحقق من الشرطين الأوليين بشكل منفصل، وفسر فترة الحل المسموحة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the larger root of m²-3m+2=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Factor m²-3m+2=(m-1)(m-2); the larger root is 2.
Match each part of y″-3y′+2y=f(x) to its role.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The general solution is complementary function plus particular integral; the auxiliary roots decide the form, with special cases for repeated or complex roots.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- edexcel IAL رياضيات متقدمة؛ الوحدة الرسمية FP2. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ إنه ليس شرط دفع إضافي.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الحل العام لمعادلة التفاضل الخطية المتجانسة المرتبطة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.