التوزيع الطبيعي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع الطبيعي |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | القاعدة التجريبية |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | التوزيع الطبيعي المعياري |
المنحنى الجرس الشهير
- تتبع العديد من المتغيرات الحقيقية — كالأطوال، وأخطاء القياس، ودرجات الاختبارات — نمطًا جرسيًا.
- التوزيع الطبيعي هو المنحنى المثالي، متماثل حول مركزه.
- يتم وصفه بالكامل برقمين: المتوسط $\mu$ (المركز) والانحراف المعياري $\sigma$ (التشتت).
- نظرًا لأن الكثير يسقط في هذا الشكل، فإن النموذج الطبيعي هو حصان العمل في الإحصاء.
يتم وصف التوزيع الطبيعي بالكامل بواسطة...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
رقمان: $\mu$ (المركز) و$\sigma$ (التشتت).
القاعدة التجريبية (68–95–99.7)
- بالنسبة للتوزيع الطبيعي، تخبرك القاعدة التجريبية بكم البيانات التي تقع ضمن بضعة انحرافات معيارية من المتوسط:
- حوالي $68\%$ ضمن $1$ انحراف معياري من المتوسط.
- حوالي $95\%$ ضمن $2$ انحرافات معيارية؛ حوالي $99.7\%$ ضمن $3$ انحرافات معيارية.
- تتيح هذه الأرقام الثلاثة تقدير النسب دون آلة حاسبة.
منحنى الجرس الطبيعي
ظلل منحنياً طبيعياً حسب درجة z — حوالي 68% تقع ضمن 1 SD، 95% ضمن 2، 99.7% ضمن 3.
ما النسبة المئوية التقريبية للتوزيع الطبيعي التي تقع ضمن $1$ انحرافات معيارية عن المتوسط؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
القاعدة التجريبية: حوالي $68\%$.
ما النسبة المئوية التقريبية التي تقع ضمن $2$ انحرافات معيارية عن المتوسط؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
حوالي $95\%$ ضمن $2$ انحرافات معيارية.
درجات z والتوزيع الطبيعي القياسي
- حوّل أي قيمة إلى درجة $z$ $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — مسافتها عن المتوسط بالانحرافات المعيارية.
- توزيع الطبيعي القياسي له متوسط $0$ وانحراف معياري $1$؛ وتتحول كل منحنى طبيعي إليه بعد تقييسه.
- استخدم جدول $z$ (أو تقنية) لتحويل درجة $z$ إلى نسبة أو مؤشر مئوي.
- هكذا تجد "ما النسبة المئوية التي حققت درجات أقل من $x$."
لـ $\mu=170$، $\sigma=8$، أوجد الدرجة $z$ لـ $x=186$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$z=(186-170)/8=2$.
للتوزيع الطبيعي القياسي متوسط $0$ وانحراف معياري ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التقييس يعطي متوسط $0$، انحراف معياري $1$.
هل نموذج معقول؟
- ليست كل البيانات تتبع التوزيع الطبيعي — تحقق قبل افتراض ذلك.
- رسم بياني متماثل تقريباً، على شكل جرس، وذو قمة واحدة يدعم نموذجاً طبيعياً.
- الانحياز القوي، أو تعدد القمم، أو وجود قيم شاذة كبيرة يعني أن النموذج الطبيعي هو تقريب سيء.
- قيّم شكل البيانات أولاً؛ تطبيق قاعدة التجريبية وجداول $z$ يقتصران على البيانات التي تكون تقريباً طبيعية.
يكون النموذج الطبيعي سيئ التوافق عندما تكون البيانات...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الكسل أو الذروات المتعددة يكسر افتراضية التوزيع الطبيعي.
تنطبق نسب قاعدة التجريبية وجداول $z$ فقط على التوزيعات (الطبيعية تقريباً) — لا تستخدمها على بيانات ذات انحياز قوي. وقاعدة التجريبية هي 68–95–99.7 (بالنسبة لـ $1$ و$2$ و$3$ انحراف قياسي)، بالترتيب؛ الخلط بين هذه النسب هو خطأ شائع. قم دائماً بالتقييس باستخدام $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ قبل قراءة الجدول.
الأطوال تتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط $\mu=170$ سم وانحراف قياسي $\sigma=8$ سم. ما النسبة المئوية للأطوال بين $162$ و$178$ سم؟
- $162=170-8$ و$178=170+8$ — أي تحت فوق المتوسط بمقدار $1$ انحراف قياسي وفوقه بمقداره.
- وفقًا للقاعدة التجريبية، تقع حوالي $68\%$ من الأطوال ضمن $1$ انحراف معياري.
- لذا فإن حوالي $68\%$ تقع بين $162$ و$178$ سم.
التوزيع الطبيعي هو منحنى جرس متماثل تحدد قيمته المتوسط $\mu$ والانحراف القياسي $\sigma$. تعطي قاعدة التجريبية (68–95–99.7) نسباً داخل $1$/$2$/$3$ انحرافات قياسية. قم بالتقييس باستخدام درجة $z$ $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ واستخدم التوزيع الطبيعي المعياري للحصول على نسب دقيقة — ولكن فقط عندما يكون النموذج الطبيعي مناسباً للبيانات بشكل معقول.