معدلات التغير في الدوال القطبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | دالة قطبية |
كم يتغير نصف القطر بسرعة؟
- على منحنى قطبي، بينما تدور الزاوية حول، يرتفع ويهبط نصف القطر.
- سؤال "كم تتغير $r$ لكل وحدة من الزاوية؟" هو معدل تغير.
- يخبرك ما إذا كان المنحنى يلتف للخارج، أو للداخل، أو يبقى ثابتاً.
- هذا يربط مفاهيم معدل التغير من الوحدة 1 بالعالم القطبي.
معدل التغير المتوسط لـ r
- الدالة القطبية هي $r = f(\theta)$، لذا يمكننا قياس كيف يتغير $r$ مع $\theta$.
- معدل التغير المتوسط على فترة هو $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ - التغير في نصف القطر مقسوماً على التغير في الزاوية.
- القيمة الموجبة تعني أن نصف القطر ينمو؛ والسالبة تعني أنه ينكمش.
- إنه بالضبط معدل "المخرجات على المدخلات"، المطبق على $r$ و $\theta$.
عندما $\theta$ يتزايد، إذا كان $r$ متزايداً، فإن المنحنى يتحرك…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
نصف قطر متزايد يعني أن النقطة تتحرك للخارج — المنحنى يلتف خارجياً.
لولبي للخارج أو للداخل
- إذا كانت $r$ متزايدة كلما كبرت $\theta$، يتحرك المنحنى أبعد عن نقطة الأصل - ملتفاً للخارج.
- إذا كانت $r$ متناقصة، يلتف المنحنى للداخل نحو القطب.
- أفلك مثل $r = \theta$ له معدل إيجابي مستمر، لذا يتسع إلى الأبد.
- حجم المعدل يحدد مدى سرعة التفاف المنحنى.
شاهد نصف القطر ينمو بينما تدور الزاوية
في المنحنى اللولبي، تزداد r مع زيادة theta. يحدد معدل تغير r مدى سرعة التفاف المنحنى للخارج.
معدل التغير الأوسط لـ $r$ على فترة من $\theta$ هو $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$، وهو التغير في نصف القطر مقسوماً على التغير في ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يقيس مدى سرعة تغير نصف القطر لكل وحدة من الزاوية — وهو الصيغة القطبية للميل.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول معدلات التغير في الدوال القطبية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ثبات $r$ يرسم قوساً دائرياً وليس التفافاً خارجياً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
عندما يكون المعدل صفراً
- حيث يكون معدل تغير $r$ صفراً، يكون نصف القطر ثابتاً لحظياً.
- نصف قطر ثابت على طول فترة يرسم قوسًا من دائرة.
- لذلك، يظهر الجزء المستوي في $r$ كجزء دائري مقوس من المنحنى.
- القمم والقيعان في $r$ هي حيث يكون المنحنى أبعد نقطة أو أقرب نقطة إلى المركز.
إذا كان $r$ يتناقص بينما يتزايد $\theta$، فإن المنحنى يلتف للداخل نحو نقطة الأصل.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقلص نصف القطر يسحب النقطة نحو القطب، لذا يلتف المنحنى للداخل.
إذا كان معدل تغير $r$ صفراً على فترة ما، فإن المنحنى عند تلك الفترة يكون…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعدل الصفري يعني أن $r$ ثابتة، فتبقى النقطة على نفس المسافة — قوس دائرة.
قراءة الحركة
- تابع $r$ مقابل $\theta$ للتنبؤ بسلوك المنحنى القطبي.
- ارتفاع $r$: بتلات أو حلقات تمتد للخارج. انخفاض $r$: العودة نحو المركز.
- نقاط الصفر لـ $r$ هي حيث يعبر المنحنى نقطة الأصل.
- معدل التحويل صورة ثابتة إلى قصة حركة.
المعدل هنا هو التغير في النصف القطر لكل زاوية، وليس سرعة نقطة على طول المنحنى. قيمة كبيرة لـ $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ تعني أن المسافة من نقطة الأصل تتغير بسرعة — ولا يقيس مباشرة مدى سرعة التحرك حول المنحنى.
بالنسبة لللولب $r = \theta$، قارن نصف القطر عند $\theta = 1$ و$\theta = 3$.
- $r$ يتغير من $1$ إلى $3$ بينما $\theta$ يتغير من $1$ إلى $3$.
- متوسط معدل التغير $= \dfrac{3 - 1}{3 - 1} = 1$: ينمو نصف القطر وحدة واحدة لكل راديان.
- موجب وثابت، لذا يفتح المنحني اللولبي للخارج بمعدل منتظم.
للدالة القطبية $r = f(\theta)$، فإن متوسط معدل التغير $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ يخبرنا كيف يتغير نصف القطر مع الزاوية: موجب → التفاف للخارج، سالب → للداخل، صفر → قوس دائري. يطبق فكرة معدل التغير من الوحدة 1 على $r$ و $\theta$.