رسوم بيانية للدوال القطبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | دالة قطبية |
| rose/rəʊz/ | وردة |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | قلبية |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | إحداثيات قطبية |
منحنيات تتفتح
- في الرسوم البيانية المستطيلة، $y$ يعتمد على $x$. في الرسوم البيانية القطبية، نصف القطر يعتمد على الزاوية.
- بينما تدور الزاوية، ينمو وينكمش نصف القطر، مرسماً أشكالاً مذهلة.
- الزهور والقلوب والأفلاك تظهر جميعها من قواعد قطبية بسيطة.
- هذه المنحنيات يصعب كتابتها بـ $x$ و $y$، لكنها سهلة بـ $r$ و $\theta$.
ما هي الدالة القطبية
- الدالة القطبية تأخذ الصيغة $r = f(\theta)$: نصف قطر لكل زاوية.
- لرسمها، حرك $\theta$ حول ونقّ النقطة على بُعد $r$ في ذلك الاتجاه.
- حيثما يكون $r$ كبيراً تمتد المنحنى بعيداً؛ حيثما يكون $r = 0$ يلمس نقطة الأصل.
- يُبنى الرسم البياني بالكامل زاوية تلو الأخرى.
الدالة القطبية $r = f(\theta)$ تعطيك، لكل زاوية، الـ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدالة القطبية تُخرج نصف قطر لكل زاوية مدخلة؛ رسم $(f(\theta), \theta)$ يرسم المنحنى.
المعادلة القطبية البسيطة $r = 3$ (ثابتة) هي دائرة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
نصف قطر ثابت عند كل زاوية يرسم دائرة من هذا Radius حول نقطة الأصل.
الورود وأشكال أخرى
- $r = a\sin(k\theta)$ أو $a\cos(k\theta)$ يرسم وردة - زهرة ذات بتلات.
- عندما يكون $k$ فردياً تكون هناك $k$ بتلات؛ وعندما يكون $k$ زوجياً تكون هناك $2k$.
- $r = a(1 + \sin\theta)$ يرسم كارديويد على شكل قلب.
- قيمة ثابتة لـ $r = a$ هي ببساطة دائرة بنصف قطر $a$.
ارسم منحنى قطبي بتobotone تلو الآخر
تحدد الدالة القطبية r لكل زاوية theta. مع تدوير theta، يرسم نصف القطر وردة أو دائرة أو حلزونية.
المنحنى $r = a\sin(3\theta)$ هو ورد بعدد كم بتbotone؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بالنسبة لـ $r = a\sin(k\theta)$ مع $k$ فردياً، تمتلك وردة القطب بالضبط $k$ بتلات — وهنا $3$.
المنحنى القطبي الذي يشبه القلب $r = 1 + \sin\theta$ يسمى ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الكاردويد ("يشبه القلب") هو منحنى قطبي كلاسيكي بصيغة $r = a(1 + \sin\theta)$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الرسوم البيانية القطبية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تشمل الرسوم البيانية القطبية الدوائر والورد والكاردويد والحلزونات — نادرًا ما تكون خطوطًا مستقيمة. الثلاثة الأخرى صحيحة.
رسم نقطة بنقطة
- قم بإنشاء جدول: اختر زوايا، احسب $r$ عند كل منها، ونقّ النقاط.
- راقب حيث يمر $r = 0$ (عبر المنحنى نقطة الأصل) وأين يصل $r$ إلى ذروته.
- صل النقاط بسلاسة حسب ترتيب ازدياد $\theta$.
- عادة ما يتكرر النمط بعد دورة كاملة (أو نصف دورة، بالنسبة للورود الزوجية).
التماثل يساعد
- العديد من المنحنيات القطبية متماثلة حول محور، مما يقلل عمل الرسم بنصفه.
- غالباً ما تكون منحنيات $\sin$ متماثلة حول المحور الرأسي؛ ومنحنيات $\cos$ حول المحور الأفقي.
- اكتشاف التماثل يسمح لك برسم جزء واحد وانعكاس الباقي.
- التحويل مرة أخرى إلى الإحداثيات القطبية يؤكد بالضبط أين يقع كل ميزة.
لا تقرأ الرسم البياني القطبي كالمستطيل. "الحلقة" العائدة إلى نقطة الأصل تعني أن $r$ مر عبر $0$، وليس أن الدالة غير معرَّفة. ونقطة واحدة يمكن الوصول إليها بزوايا مختلفة متعددة، لذا قد يتم رسم نفس المنحنى أكثر من مرة.
مرسّم $r = 2\cos\theta$ خلال $0 \le \theta \le \pi$.
- عند $\theta = 0$: $r = 2$ (نقطة على بُعد $2$ وحدات لليمين).
- عند $\theta = \tfrac{\pi}{2}$: $r = 0$ (نقطة الأصل).
- تتبع النقاط دائرة قطرها $2$ تقع إلى يمين نقطة الأصل.
دالة قطبية $r = f(\theta)$ تعطي نصف قطر لكل زاوية. حرك $\theta$ لترسم دوائر، ورود ($r = a\sin k\theta$)، كارديويدات ($r = a(1+\sin\theta)$)، وأفلاك. ارسم نقطة بنقطة باستخدام الإحداثيات القطبية، واستخدم التماثل لتسريع الرسم.