الإحداثيات القطبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | إحداثيات قطبية |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | راديان |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | شبكة قطبية |
طريقة أخرى لقول "أين"
- عادة نحدد نقطة بـ "تحرك يميناً $x$، وتحرك لأعلى $y$" — الإحداثيات المستطيلة.
- لكن شاشة الرادار أو البوصلة تفكر بشكل مختلف: "كم المسافة، وفي أي اتجاه؟"
- هذه هي الطريقة القطبية: مسافة وزاوية.
- لأي شيء يدور أو يشع، الإحداثيات القطبية أكثر طبيعية بكثير.
نقطة كـ (r, θ)
- الإحداثيات القطبية تسمى نقطة بواسطة $(r, \theta)$.
- $r$ هي المسافة من نقطة الأصل (القطب)؛ $\theta$ هي الزاوية من محور x الموجب.
- تُقاس الزاوية بـ الراديان (أو الدرجات)، عكس عقارب الساعة.
- لذا $(2, \tfrac{\pi}{4})$ تعني "تحرك خارجاً مسافة $2$ وحدات في اتجاه $45°$".
في الإحداثيات القطبية $(r, \theta)$، الرقمان يعطيان…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تستخدم الإحداثيات القطبية $r$ (المسافة من نقطة الأصل) و$\theta$ (الزاوية)، على عكس $(x, y)$ للإحداثيات الديكارتية.
الشبكة القطبية
- الشبكة القطبية هي مجموعة من الدوائر المتداخلة (ثابتة $r$) والخطوط الشعاعية (ثابتة $\theta$).
- قراءة نقطة ما سهلة: أوجد دائرتها، ثم خطها الشعاعي.
- نقطة الأصل هي $r = 0$، وهي المركز الوحيد لجميع الدوائر.
- هذه الشبكة تحل محل ورقة الرسم البياني المربعة المعتادة للإحداثيات المستطيلة.
تحديد موقع نقطة باستخدام نصف القطر والزاوية
ضبط الزاوية ونصف القطر لوضع نقطة. الإحداثيات القطبية (r, theta) تصف الموقع بالاتجاه والمسافة.
لتحويل $(r, \theta)$ إلى إحداثيات ديكارتية $(x, y)$، استخدم…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العلاقة بدائرة الوحدة تُوسع بمقدار $r$: $x = r\cos\theta$ و$y = r\sin\theta$.
لنقطة $r = 2$ و$\theta = 0$. ما هو إحداثي $x$ الخاص بها؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$؛ و$y = 2\sin 0 = 0$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الإحداثيات القطبية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الأشكال القطبية ليست فريدة — العديد من $(r, \theta)$ تسمي نفس النقطة. الثلاثة الأخرى صحيحة.
التحويل بين الأنظمة
- من القطبي إلى المستطيل: $x = r\cos\theta$ و $y = r\sin\theta$.
- من المستطيل إلى القطبي: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ و $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (انتبه للربع).
- هذه صيغ مستمدة مباشرة من تعريفات دائرة الوحدة، مضروبة في $r$.
- انتقل إلى أي نظام يجعل المسألة أبسط.
يمكن للنقطة الواحدة أن يكون لها أكثر من مجموعة واحدة من الإحداثيات القطبية (مثل إضافة $2\pi$ للزاوية).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إضافة دورة كاملة إلى $\theta$ تؤدي إلى نفس النقطة، لذا الإحداثيات القطبية ليست فريدة.
ليست عنواناً فريداً
- على عكس $(x, y)$، النقطة القطبية لها عدة أسماء.
- إضافة $2\pi$ إلى $\theta$ تقودك إلى نفس النقطة تماماً.
- قيمة سالبة لـ $r$ تشير إلى الاتجاه المعاكس، مما يعطي اسماً آخر.
- لذا فإن $(2, 0)$، و $(2, 2\pi)$، و $(-2, \pi)$ جميعها تمثل نفس النقطة.
الإحداثيات القطبية ليست فريدة: نقطة واحدة لها عدد لا نهائي من $(r, \theta)$. عند التحويل أو الحل، راقب الربع وتذكر أن $\arctan$ وحده قد يوقعك في النصف الخاطئ من المستوى.
حوّل النقطة القطبية $(4, \tfrac{\pi}{2})$ إلى إحداثيات مستطيلة.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- إذن النقطة هي $(0, 4)$ — عموديًا لأعلى على محور y.
الإحداثيات القطبية تحدد نقطة بـ $(r, \theta)$: مسافة $r$ من نقطة الأصل بزاوية $\theta$، مرسومة على شبكة قطبية. حول باستخدام $x = r\cos\theta$، $y = r\sin\theta$. الأسماء القطبية ليست فريدة - إضافة دورة كاملة تعطي نفس النقطة.