التعبيرات المثلثية المكافئة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | متطابقة |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | مكافئ |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | متطابقة فيثاغورس |
| sine/saɪn/ | جايب |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | جيب تمام |
وجهان لنفس التعبير
- يمكن كتابة نفس الكمية المثلثية بعدة طرق تبدو متساوية لكنها مختلفة.
- يمكن أن يصبح $\sin^2\theta$ $1 - \cos^2\theta$؛ ويمكن أن يصبح $\tan\theta$ $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- هذه التبديلات تقودها المتطابقات — معادلات صحيحة لـ كل زاوية.
- اختيار الصيغة الصحيحة يحول مشكلة صعبة إلى سهلة.
ما هو المتطابقة
- المتطابقة المثلثية هي معادلة صحيحة لـ جميع الزوايا الصالحة.
- هذا يختلف عن المعادلة التي تحلها، والتي تتحقق فقط عند زوايا خاصة.
- تعبران مرتبطان بمتطابقة هما متكافئان في كل مكان.
- لذا يمكنك استبدال واحد بالآخر.annotations helps.
شاهد متطابقة فيثاغورس تتحقق
لأي زاوية، النقطة على دائرة الوحدة تحقق مربع جيب التمام زائد مربع الجيب يساوي 1 — وهي المتطابقة المثلثية الرئيسية.
المتطابقة المثلثية هي معادلة تكون صحيحة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتطابقة تتحقق لجميع المدخلات الصالحة — على عكس المعادلة التي تحل من أجل قيم معينة.
متطابقة فيثاغورس
- المتطابقة الأم هي متطابقة فيثاغورس: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- تنبثق مباشرة من دائرة الوحدة، حيث $(\cos\theta, \sin\theta)$ نصف قطرها $1$.
- بإعادة الترتيب، تعطي $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ و $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- بالقسمة على $\cos^2$ أو $\sin^2$ نحصل على صيغ القاطع وجيب التمام القاطع.
متطابقة فيثاغورس تنص على أن…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بما أن نقطة دائرة الوحدة $(\cos\theta, \sin\theta)$ لها نصف قطر $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول المتطابقات المثلثية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المتطابقة صحيحة لـ جميع الزوايا، وليس لواحدة فقط. الثلاثة الأخرى صحيحة.
صندوق أدوات المتطابقات
- متطابقات المقلوب: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$، وهكذا.
- متطابقة القسمة: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- زوجي/فردي: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$، $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- مجتمعة تسمح لك بإعادة كتابة أي تعبير مثلثي تقريباً في صورة جديدة.
إذا $\sin\theta = 0.6$، فمن متطابقة فيثاغورس $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$، إذن $\cos\theta = \pm 0.8$.
تُتيح المتطابقات إعادة كتابة التعبير المثلثي كـ مكافئ قد يكون أسهل في التعامل معه.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا هو استخدامهم الرئيسي: استبدال شكل مساوٍ لتبسيط التعبير أو حل معادلة.
استخدام المتطابقات
- للتبسيط، استبدل جزءاً من التعبير بصيغة متكافئة حتى ينهار.
- لحل معادلة، أعد كتابة كل شيء بدلالة دالة واحدة (مثلاً، كل الجيب).
- للتحقق من متطابقة، حول جانباً واحداً حتى يطابق الآخر.
- عادةً ما تكون صيغ الجيب وجيب التمام هي الأكثر أماناً للهدف إليها.
تحتفظ المتطابقة لـ جميع الزوايا، لذا يجب أن يتطابق الجانبان في كل مكان — لا يمكنك "إثبات" واحدة عن طريق تعويض قيمة واحدة. اختبار $\theta = 0$ يمكن أن ينفي متطابقة خاطئة، لكن تأكيد زاوية واحدة لا يثبت أبداً أنها صحيحة.
معطى $\sin\theta = 0.6$ مع $\theta$ حادة، أوجد $\cos\theta$.
- متطابقة فيثاغورس: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- إذن $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- بما أن $\theta$ حادة، فإن جيب التمام موجب: $\cos\theta = 0.8$.
المتطابقة المثلثية متطابقة لكل زاوية، لذا تسمح لك باستبدال تعبير بـ متكافئ. المتطابقة الأم هي متطابقة فيثاغورس $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$؛ ومدمجة مع متطابقات المقلوب والقسمة، تعيد كتابة أي تعبير مثلثي في صيغة الجيب وجيب التمام.