القاطع، التمام القاطع، والظاher
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | مقلوب |
| secant/ˈsiːkənt/ | جيب التمام |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | مقلوب جيب التمام |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | مقلوب الجيب |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب العمودي |
ثلاثة المزيد من قلب
- الجيب والجتا والظل لديهم ثلاثة شركاء مُبنين بقلبهم.
- كل دالة جديدة هي ببساطة $1$ مقسومًا على أحد الأصلية.
- تظهر دائماً عندما يكون من الأسهل كتابة النسبة "مقلوبة".
- تأخذ منحنيات المقلوبات مقارباتها من أينما تصفر الدوال الأصلية.
المقلوبات الثلاثة
- القاطع (Secant) هو المقلوب لجيب التمام: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
- جيب التمام القاطع (Cosecant) هو مقلوب الجيب: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
- ظل التمام (Cotangent) هو مقلوب الظل: $\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
- حافظة ذهنية مفيدة: المقطع "co-" والدالة الأساسية لا يتطابقان أبداً (يترافق القاطع مع جيب التمام).
موجة جيب التمام التي مقلوبها هو القاطع
y = cos x
القاطع يساوي 1 مقسوماً على جيب التمام. حيثما تعبر هذه الموجة الصفر، ينفجر القاطع نحو تقارب رأسي.
دالة القاطع مُعرَّفة كـ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القاطع هو مقلوب جيب التمام: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
أي تطابق صحيح؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التمام القاطع هو $1/\sin$ والظaher هو $1/\tan = \cos/\sin$ — مقلوبات الجيب وظاher.
حدد جميع المتطابقات المقلوبة الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
القاطع هو $1/\cos$، وليس $\sin$. التعريفات المقلوبة الأخرى الثلاثة صحيحة.
حيث تنفجر المنحنيات
- تكون المقلوبة غير معرفة عندما تكون الدالة الأصلية صفراً — لأنه لا يمكن القسمة على الصفر.
- لذلك يمتلك القاطع مقارباً عمودياً في كل مكان يصفر فيه $\cos x = 0$.
- ينفجر جيب التمام القاطع في كل مكان يصفر فيه $\sin x = 0$؛ ويكمن ظل التمام أيضاً في كل地方 يصفر فيها $\sin x = 0$.
- بين المقاربات، ينحدر كل منحنى نحو $\pm\infty$.
يحتوي القاطع على تقارب رأسي ____ حيثما $\cos x = 0$، لأنه لا يمكن القسمة على الصفر.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بما أن $\sec x = 1/\cos x$، فإن جيب التمام الصفري يجعل القاطع غير معرف — وهو تقارب رأسي.
لا تقع قيمة القاطع أبداً بشكل صارم بين $-1$ و$1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بما أن $|\cos x| \le 1$، فإن مقلوبه $|\sec x| \ge 1$ — القاطع دائماً بحجم لا يقل عن $1$.
شكلها
- نظراً لأن $|\cos x| \le 1$، فإن مقلوبه القاطع يحقق $|\sec x| \ge 1$.
- لذا لا يدخل القاطع قط الحزام الموجود بين $-1$ و $1$ — بل يعيش خارجه.
- تقع كل قوس "U" للقاطع فوق قمة لجيب التمام أو تحت قعر لجيب التمام.
- يبدو جيب التمام القاطع مبنياً بنفس الطريقة، مزاحاً ليتوافق مع الجيب بدلاً من جيب التمام.
لماذا هي مفيدة
- بعض الصيغ تكون أنقى باستخدام القاطع أو ظل التمام بدلاً من كسر يحتوي على الجيب وجيب التمام.
- متطابقات فيثاغورس تأتي أيضاً بصيغ القاطع وجيب التمام القاطع.
- في التفاضل، مشتقة الظل هي $\sec^2 x$ — وتظهر المقلوبات بشكل طبيعي.
- معرفة الدوال المثلثية الستة جميعها تتيح لك اختيار الأبسط للمهمة المطلوبة.
لا تخلِ بين المقلوب $\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$ والمقلوب العكسي $\cos^{-1} x = \arccos x$. وعلى الرغم من تشابه الأسماء، إلا أن أحدهما يعني "واحد على جيب التمام" والآخر يعني "الزاوية التي لها هذا جيب التمام" — وهما دالتان مختلفتان تماماً.
قيم $\sec\tfrac{\pi}{3}$ واشرح لماذا $\csc 0$ غير معرّف.
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$، وبالتالي $\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$.
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$، وهي غير معرفة.
- لذا فإن $x = 0$ يمثل مقارباً عمودياً لجيب التمام القاطع.
القاطع، جيب التمام القاطع، وظل التمام هم المقلوبات لجيب التمام، والجيب، والظل. لكل منها مقارب عمودي في كل مكان تصفر فيه دالتها الأساسية، ولا تسقط مخرجات القاطع/جيب التمام القاطع أبداً صراحةً بين $-1$ و $1$.