معادلات ومتباينات مثلثية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | الزمن الدوري |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | معكوس |
| sine/saɪn/ | جايب |
متى تصطدم الموجة بالهدف؟
- "عند أي أوقات تكون المد في $3$ م بالضبط؟" يتحول إلى معادلة مثلثية.
- نظرًا لتكرار الموجة، فإن الإجابة ليست وقتًا واحدًا بل إيقاع كامل من الأوقات.
- الحل يعني إيجاد كل زاوية تكون فيها الدالة مساوية لقيمة هدف.
- الدائرة الوحدة والدورة مجتمعتان تزودانهما جميعًا.
إيجاد أول حل
- لحل $\sin x = 0.5$، ابحث أولاً عن زاوية باستخدام المعكوس: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- هذا يعطي حلاً فرديًا "مبدئيًا" داخل النطاق المقيّد.
- بالنسبة لجيب التمام أو الظل، استخدم $\arccos$ أو $\arctan$ بنفس الطريقة.
- هذه الزاوية الأولى هي البذرة التي تنمو منها جميع الزوايا الأخرى.
لإيجاد أول حل لـ $\sin x = 0.5$، تستخدم…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يعطي العكس زاوية واحدة: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). ثم استخدم التناظر لباقي الحلول.
ثم أوجد جميعها
- موجة الجيب تتقاطع مع خط هدف أفقي مرة واحدة في كل دورة، إلى الأبد.
- لذلك عادةً ما يكون للمعادلة المثلثية عدد لا نهائي من الحلول.
- استخدم تماثل الرسم لإيجاد الحل الثاني ضمن دورة واحدة.
- ثم أضف مضاعفات صحيحة من الدورة لتوليد الباقي اللامتناهي.
كل تقاطع هو حل
y = sin x
تلتقي موجة الجيب بخط هدف أفقي مراراً وتكراراً، لذلك للمعادلة المثلثية عدد لا نهائي من الحلول.
على جميع الأعداد الحقيقية، $\sin x = 0.5$ لديه…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تلتقي الموجة مع الخط $y = 0.5$ مرة واحدة في كل دورة، إلى الأبد — عدد لا نهائي من الحلول.
لإدراج كل حل، أضف مضاعفات صحيحة من ____ إلى أول حل.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لأن الجيب يتكرر، فإن إضافة أي مضروب لـ الدورة ($2\pi$) يعطي حلاً آخر.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول المعادلات المثلثية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الجيب مقيد عند $1$، لذا $\sin x = 5$ ليس له حل. الثلاثة الأخرى صحيحة.
المتباينات
- عدم مساواة مثلثية مثل $\sin x > 0.5$ تطلب الفترات التي تكون فيها الموجة فوق خط.
- حل المعادلة المطابقة أولاً لإيجاد زوايا الحدود.
- ثم استخرج أي أقواس من الموجة تحقق عدم المساواة.
- الإجابة هي مجموعة متكررة من الفترات، فترة واحدة لكل دورة.
المعادلة $\sin x = 2$ ليس لها حل.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
دالة الجيب لا تتجاوز $1$، لذا لا يمكن أن يحدث $\sin x = 2$ أبدًا — ولا يوجد حل.
عندما لا يوجد حل
- جيب التمام وجيب الزاوية لا يخرجان أبداً عن $[-1, 1]$، لذا فإن $\sin x = 2$ ليس له أي حل على الإطلاق.
- تأكد دائمًا من أن قيمة الهدف قابلة للتحقيق قبل الحل.
- أما هدف الظل، فهو قابل للتحقيق دائمًا، نظرًا لأن الظل غير محدود.
- معرفة نطاق كل دالة ينقذك من مطاردة إجابات مستحيلة.
لا تكتفِ بإرجاع إجابة الآلة الحاسبة الواحدة. $\arcsin(0.5)$ يعطي $\tfrac{\pi}{6}$، لكن $\sin x = 0.5$ ينطبق أيضاً عند $\tfrac{5\pi}{6}$ وعند كل $+2\pi$ التي تليها. المعادلة المثلثية تحتوي تقريباً دائماً على حلول أكثر مما تكشفه الدالة العكسية وحدها.
حل $\cos x = 0$ لجميع $x$.
- حل واحد: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- جيب التمام يساوي $0$ أيضاً عند $\tfrac{3\pi}{2}$ — وهذا يعني $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- إذن الحل الكامل هو $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ لكل عدد صحيح $k$.
لحل معادلة مثلثية، استخدم المعكوس للحصول على زاوية أولى، ثم استخدم تماثل الرسم والدورة لتعداد كل الحلول — غالبًا عدد لا نهائي. تحقق من أن الهدف ضمن نطاق الدالة أولاً (الجيب والجتا لا يمكن أن يتجاوزا $1$). تعطي المتباينات فترات متكررة.