الدوال المثلثية العكسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| sine/saɪn/ | جايب |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | معكوس |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | تقابل واحد |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
من النسبة إلى الزاوية
- الجيب يحول الزاوية إلى نسبة؛ وأحيانًا نحتاج إلى عكس هذه العملية.
- سؤال "أي زاوية جيبها $0.5$؟" هو سؤال لا يجيبه إلا الدالة العكسية.
- المنحدرات وأطباق الأقمار الصناعية والملاحة جميعها تحتاج إلى الزاوية المستنتجة من نسبة مقاسة.
- دوال المثلث العكسية تقوم بهذا العكس تمامًا.
ما تفعله الدالة العكسية
- معكوس الجيب، يُكتب $\arcsin$ أو $\sin^{-1}$، يأخذ قيمة ويعيد زاوية.
- $\arcsin(0.5) = 30°$، لأن $\sin 30° = 0.5$.
- وبالمثل $\arccos$ و$\arctan$ يعكسان الجتا والظل.
- كل منها يلغي دالة المثلث المقابلة، مستعيدًا الزاوية التي أنتجت تلك القيمة.
الدالة العكسية $\arcsin$ (أو $\sin^{-1}$) تأخذ قيمة وتعطي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العكس للجيب يعكسه: $\arcsin(0.5)$ هي الزاوية التي جيبها $0.5$، وهي بالتحديد $30°$.
لماذا يجب تقييد النطاق
- الجيب ليس واحدًا لواحد: countless زاوية تشترك في نفس قيمة الجيب.
- إذا عكسنا جميعها، فإن "المعكوس" سيعطي الكثير من الإجابات في وقت واحد — وليس دالة.
- لذا نقيّد النطاق على جزء واحد متصاعد، من $-\tfrac{\pi}{2}$ إلى $\tfrac{\pi}{2}$.
- على هذا النطاق المقيّد، كل ناتج يأتي من زاوية واحدة بالضبط.
من نسبة إلى زاوية
دالة مثلثية عكسية تجيب عن السؤال العكسي —给定 value الجيب أو جيب التمام، أي زاوية أنتجتها؟
لماذا يجب تقييد الجيب قبل أن يكون له دالة عكسية؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تشترك العديد من الزوايا في نفس الجيب، لذا الجيب ليس one-to-one. تقييد مجاله يثبت مخرجاً واحداً لكل مدخل.
ما هي $\arcsin(1)$ (بالراديان)؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$، لذا $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — الزاوية في النطاق المقيد.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الدوال المثلثية العكسية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تعطي الدالة العكسية زاوية واحدة فقط (في النطاق المقيد)، وليست كلها. الثلاثة الأخرى صحيحة.
رسوم الدوال العكسية
- نظرًا لأنها دوال عكسية، فإن الرسوم تعكس رسوم المثلث المقيّدة عبر $y = x$.
- $\arcsin$ لها نطاق $[-1, 1]$ (كل قيم الجيب الصالحة) ونطاق $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ لها نفس النطاق لكن نطاق $[0, \pi]$.
- مدخلاتها هي نسب؛ ومخرجاتها هي زوايا.
رسم الدالة المثلثية العكسية هو الرسم المثلثي المقيد المنعكس عبر $y = x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
كما هو الحال مع أي دالة عكسية، تبديل المدخل والمخرج يعكس الرسم عبر الخط $y = x$.
قراءة قيمة
- لإيجاد $\arccos(0)$، اسأل "أي زاوية في $[0,\pi]$ لها جتا $0$؟" — الإجابة هي $\tfrac{\pi}{2}$.
- المعكوس يعيد زاوية واحدة داخل النطاق المقيّد، تُسمى القيمة الأساسية.
- قد تعمل زوايا أخرى أيضًا، لكن الدالة العكسية تُبلغ زاوية واحدة فقط.
- أضف دورات كاملة أو استخدم التماثل إذا كنت بحاجة للبقية.
المعكوس يعطي الزاوية الأساسية فقط، وليس كل الحلول. $\arcsin(0.5) = 30°$، لكن $150°$ له أيضًا جيب $0.5$. عند حل معادلة، يجب أن تجد جميع الزوايا بنفسك — المعكوس يمنحك زاوية واحدة فقط.
يرتفع منحدر $3$ م على طول ميل قدره $6$ م. ما الزاوية التي يصنعها؟
- جيب الزاوية هو $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- إذن الزاوية هي $\arcsin(0.5) = 30°$.
- حولت الدالة العكسية النسبة المقاسة إلى الزاوية التي أردناها.
دالة مثلثية عكسية تعيد زاوية من نسبة: $\arcsin$، $\arccos$، $\arctan$. بما أن دوال المثلث ليست واحدة لواحد، فنقوم بتقييد نطاقها أولاً. رسوم الدوال العكسية تعكس الجيب/الجتا/الظل المقيّد عبر $y = x$، وتُبلغ الزاوية الأساسية فقط.