دالة الظل
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | ظل |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب العمودي |
| period/ˈpɪərɪəd/ | الزمن الدوري |
موجة تنكسر
- الجيب وجيب التمام يدوران بسلاسة، محدودين دائماً بين $-1$ و$1$.
- دالة الظل أكثر جنوناً: تصعد إلى ما لا نهاية، ثم تعيد البدء.
- بيانه سلسلة من الفروع المنفصلة، كل منها مكسور بجدار غير مرئي.
- فهم لماذا ينكشف يكشف عن كيفية بناؤه من الجيب وجيب التمام.
الظل هو نسبة
- الظل يُعرف بأنه $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- على دائرة الوحدة هو ميل الخط من نقطة الأصل إلى النقطة.
- حيث يكون الجيب $0$، يكون الظل $0$ (عندما تعبر الفروع المحور).
- حيث يكون جيب التمام $0$، تنقسم النسبة على الصفر — وهذا هو مكان انكساره.
تساوي دالة الظل…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بالتعريف، $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — الجيب مقسوماً على جيب التمام.
ما هو $\tan 0$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
المقارب الرأسي حيث يختفي جيب التمام
- يظهر المقارب الرأسي كلما $\cos x = 0$.
- يحدث ذلك عند $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — كل نصف دورة.
- عند الاقتراب من مقارب رأسي، يسارع المخرج نحو $+\infty$ أو $-\infty$.
- لا يعبر المنحنى هذه الجدران أبداً؛ بل يصعد بشدة بجانبها فقط.
الظل كميل يهرب
على دائرة الوحدة، الظل هو ميل خط نصف القطر. عندما يقترب الزاوية من 90 درجة، ينطلق ذلك الميل نحو اللانهائية.
لدالة الظل تقارب عمودي حيثما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حيث $\cos x = 0$، الكسر $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ يُقسَم على صفر — تقارب عمودي.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول $y = \tan x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
على عكس الجيب وجيب التمام، الظل غير محدود — ينطلق نحو $\pm\infty$. الثلاثة الأخرى صحيحة.
دور أقصر
- الجيب وجيب التمام يتكرران كل $2\pi$، لكن دور الظل هو فقط $\pi$.
- لذا يكمل الظل دورة كاملة مرتين غالباً.
- خلال كل دورة، يرتفع بثبات من $-\infty$ إلى $+\infty$.
- فرع واحد يمتد من مقارب رأسي إلى الآخر.
على عكس الجيب وجيب التمام، لدالة الظل دور ____ (ليس $2\pi$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يتكرر الظل كل $\pi$ — مرتين أكثر من الجيب أو جيب التمام.
مخرج غير محدود
- على عكس الجيب وجيب التمام، ليس للظل حد أقصى أو أدنى.
- مجاله هو جميع الأعداد الحقيقية — فهو يصل إلى كل ارتفاع.
- بالقرب من المقارب الرأسي ينمو بلا حدود؛ وفي وسط الفرع يكون $0$.
- هذا الشكل غير المحدود والمتكرر يُجسد الانحدارة وزوايا الارتفاع.
الظل غير معرف عند مقارباته — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ ليس له قيمة، لأن $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ والصفر لا يمكن قسمة الصفر عليهما. لا تحاول إدخال تلك الزوايا؛ الدالة ببساطة لا توجد هناك.
جد $\tan\tfrac{\pi}{4}$ واشرح لماذا $\tan\tfrac{\pi}{2}$ غير معرفة.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$، وهي غير معرفة.
- لذا $x = \tfrac{\pi}{2}$ مقارب رأسي، وليست نقطة على المنحنى.
دالة الظل هي $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. ولها خط تقارب عمودي حيثما $\cos x = 0$، ودورة قدرها $\pi$ (وليس $2\pi$)، ونطاق غير محدود — كل فرع يصعد من $-\infty$ إلى $+\infty$ ثم يتكرر.