تحويلات الدوال الجيبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | السعة |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | خط المنتصف |
| period/ˈpɪərɪəd/ | الزمن الدوري |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | إزاحة الطور |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | دالة جيبية |
ثني الموجة الأم
- الموجة الأم $\sin x$ ثابتة، لكن الموجات الحقيقية أطول، أسرع، ومُزاحة.
- أربع تحويلات تعيد تشكيلها لأي دالة جيب تريغونية تحتاجها.
- اثنتان تؤثران عمودياً (على الناتج)، اثنتان تؤثران أفقياً (على المدخل).
- تعلم وظيفة كل مفتاح، ويمكنك رسم أو كتابة أي موجة.
التغيرات العمودية
- الضرب في $a$ يمدد الموجة عمودياً: تصبح السعة $|a|$.
- ضرب سالب في $a$ يعكس أيضاً الموجة رأساً على عقب.
- إضافة $d$ ترفع أو تنزل الموجة بأكملها، وتحدد الخط المتوسط عند $y = d$.
- معاً تحددان الذروة ($d + |a|$) والحفرة ($d - |a|$).
زيادة $|a|$ في $y = a\sin(bx) + d$ تجعل الموجة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|a|$ هي السعة، لذا فإن قيمة $|a|$ أكبر تمتد الموجة طولاً.
زيادة $d$ في $y = a\sin(bx) + d$ …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$d$ هو مستوى خط المنتصف، لذا فإن إضافته ترفع الموجة بأكملها للأعلى.
التغيرات الأفقية
- العامل $b$ يضغط الموجة أفقياً: يصبح الدور $\tfrac{2\pi}{b}$.
- كلما كانت $b$ أكبر، كان الدور أسرع — موجات أكثر في نفس المساحة.
- الثابت $c$ ينتج إزاحة طورية، يُزيح الموجة يميناً أو يساراً.
- كما هو الحال دائماً، $(x - c)$ تحرك الرسم البياني يميناً بمقدار $c$.
امتد، أزل، وارفع موجة الجيب
y = a·sin(b(x − c)) + d
كبر a لرفع السعة، كبر b لتقصير الدور، غيّر c للإزاحة الجانبية، وغيّر d لرفع خط المنتصف.
بالنسبة لـ $y = \sin(3x)$، ما هو الدور؟ (استخدم $\pi \approx 3.14$؛ أعطِ قيمة $2\pi/3$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الدور $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — مضاعفة $b$ تُقصر الدور إلى الثلث.
الثابت $c$ داخل $\sin(b(x - c))$ ينتج إزاحة ____ أفقية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إزاحة الطور تحرك الموجة يميناً أو يساراً دون تغيير شكلها.
دمج جميع الأربعة
- دالة جيب تريغونية كاملة تستخدم الأربعة معاً: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- طبقها بترتيب منطقي: امدها، ثم زحّها.
- كل معلمة تعمل بشكل مستقل، لذا يمكنك قراءتها واحداً تلو الآخر.
- نفس الأربعة تحول جيب التمام بنفس الطريقة تماماً.
طابق كل معيار من $y = a\sin(b(x-c)) + d$. حدد جميع الإجابات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$c$ يتحكم في إزاحة الطور، وليس السعة. الثلاثة الأخرى صحيحة.
قراءة تحويل من الرسم البياني
- قِس الخط الأوسط: خذ المتوسط للنقاط الأعلى والأدنى → هذا هو $d$.
- قِس السعة: نصف المسافة من القمة إلى القاع → هذا هو $|a|$.
- قِس الدور: الطول الأفقي لدورة واحدة → يعطيك $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- حدد أين "يبدأ" الدورة لقراءة الإزاحة الطورية $c$.
السعة والمحور المتوسط يأتيان من خارج الدالة الجيبية (فهي تضبط المقياس وترفع المخرجات)؛ بينما الدور والإزاحة الطورية تأتيان من داخل (فهما يؤثران على المدخلات). الخلط بين الداخل والخارج — لا سيما الإزاحة الأفقية العكسية — هو الخطأ الكلاسيكي في المنحنيات الجيبية.
صف التحويلات في $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- السعة $|a| = 4$؛ الخط المتوسط $y = 3$؛ لذا تتأرجح بين $-1$ و$7$.
- الدور $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- الإزاحة الطورية: إلى اليمين بمقدار $1$ (من $x - 1$ داخل القوس).
حوّل دالة الجيب الأم مع أربعة مقابس: $a$ يحدد السعة، $d$ المحور المتوسط، $b$ الدور ($\tfrac{2\pi}{b}$)، و$c$ الإزاحة الطورية. القيم خارج الجيب تؤثر عمودياً؛ والقيم داخله تؤثر أفقياً وتعمل عكسياً.