الدوال الجيبية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | دالة جيبية |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | السعة |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | خط المنتصف |
| period/ˈpɪərɪəd/ | الزمن الدوري |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | إزاحة الطور |
موجة واحدة، أربعة مفاتيح
- موجة الجيب الأم ثابتة، لكن الموجات الحقيقية تأتي بكل مقاس وسرعة.
- أربعة أرقام تُمكّنك من إعادة تشكيلها: أطول أو أقصر، أسرع أو أبطأ، محوّلة للأعلى أو أفقياً.
- إتقان هذه الأربعة lets you match أي منحنى دوري أملس.
- تُسمى هذه العائلة المرنة بدوال الجيب التريغونومي.
الصيغة العامة
- الدالة الجيب التريغونية هي $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- السعة هي $|a|$ — مدى ارتفاع الموجة فوق وانخفاضها عن مركزها.
- الخط المتوسط هو $y = d$ — الخط الأفقي الذي تتذبذب حوله الموجة.
- جيب التمام يناسب نفس القالب؛ الاثنان قابلان للتبديل مع إزاحة.
في $y = a\sin(b(x - c)) + d$، السعة هي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعامل $a$ يمدد الموجة عمودياً، لذا السعة هي $|a|$.
في $y = a\sin(b(x - c)) + d$، خط المنتصف هو الخط $y =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إضافة $d$ ترفع الموجة بالكامل لأعلى، لذا خط المنتصف يقع عند $y = d$.
السعة والخط المتوسط
- تغيير $a$ يمدد الموجة لتصبح أعلى أو يسطحها (أو يعكسها إذا كان $a < 0$).
- تغيير $d$ يُزيح الموجة بأكملها لأعلى أو لأسفل إلى خط متوسط جديد.
- القيمة العظمى هي $d + |a|$ والقيمة الصغرى هي $d - |a|$.
- لذا $a$ و$d$ معاً يحددان الأعلى والأدنى للموجة.
أعد تشكيل الجيب باستخدام أربعة أزرار تحكم
y = a·sin(b(x − c)) + d
a يحدد السعة، b يحدد الدورة، c يزيحه أفقياً، و d يحدد خط المنتصف. غيّر كل منها وشاهد.
دورة $y = a\sin(b x) + d$ هي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العامل $b$ يضغط الموجة أفقياً، لذا الدورة تصغر لتصبح $\dfrac{2\pi}{b}$.
ما هي دورة $y = \sin(2x)$؟ (استخدم $\pi \approx 3.14$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
دورة $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — مضاعفة $b$ تقلص الدورة لنصفها.
الدور من b
- الرقم $b$ يتحكم في سرعة دوران الموجة.
- الدور هو $\dfrac{2\pi}{b}$ — كلما كانت $b$ أكبر، كانت الدورات أكثر قرباً من بعضها.
- لذا $y = \sin(2x)$ تتكرر مرتين بسرعة أكبر، بدور $\pi$.
- التردد (الدورات لكل وحدة) هو مقلوب الدور.
في $y = a\sin(b(x - c)) + d$، طابق كل دور. حدد جميع الإجابات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$b$ يتحكم في الدور، وليس السعة. إزاحة طور $c$ تحرك الموجة جانبياً. الثلاثة الأخرى صحيحة.
الإزاحة الطورية من c
- القيمة $c$ تُزيح الموجة يميناً أو يساراً — وهي إزاحة طورية.
- داخل الدالة، $(x - c)$ تحرك الرسم البياني يميناً بمقدار $c$ (القاعدة المعتادة المعكوسة).
- الإزاحة الطورية تسمح لنموذج الجيب بمحاذاة البيانات التي تصل إلى ذروتها في وقت مختار.
- معاً $a, b, c, d$ تحددان أي دالة جيب تريغونية بدقة.
تذكر أن $b$ يحدد الدور، وليس السعة، ويعمل عكسياً: كلما كانت $b$ أكبر، كان الدور أقصر. والإزاحة $(x - c)$ تحرك الرسم البياني يميناً، ليس يساراً — انعكاس الداخل للدالة يربك الكثير من الطلاب.
وصف $y = 3\sin(2x) + 5$.
- السعة $|a| = 3$؛ الخط المتوسط $y = 5$؛ لذا تتأرجح بين $2$ و$8$.
- الدور $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — دورة واحدة كل $\pi$ وحدات.
- لا يوجد إزاحة طورية ($c = 0$)، لذا تبدأ دورة عند $x = 0$ على الخط المتوسط، صاعدة.
الدالة الموجية الجيبية $y = a\sin(b(x-c)) + d$ لها سعة $|a|$، وخط وسط $y = d$، ودور $\dfrac{2\pi}{b}$، وإزاحة طورية مقدارها $c$. هذه الأرقام الأربعة تعيد تشكيل الموجة الأم لتناسب أي نمط دوري سلس.