قانون نيوتن الثاني بالصيغة الدورية
تطبيق عزم أكبر لتسريع الدوران — لكن العجلات الكبيرة تقاوم
- أعطِ عجلة دراجة هوائية دفعة قوية وستدور بسرعة؛ بينما لا تستجبه عجلة ثقلية ثقيلة لنفس الدفعة إلا قليلاً.
- المزيد من العزم يُسرّع دوران الأشياء؛ والمزيد من العزم القصور الذاتي يقاوم هذا التغيير.
- هناك معادلة واحدة تربط بين العزم والعزم القصور الذاتي والتسارع الزاوي.
- إنه قانون نيوتن الثاني — مخصص للدوران.
القانون الثاني للدوران
- محصلة العزوم تساوي العزم القصور الذاتي مضروباً في التسارع الزاوي: $\sum \tau = I\alpha$.
- بإعادة الترتيب: $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}$ — وهو معدل الدوران الذي ينتجه العزم.
- عزم دوران أكبر ⟹ عزم دوار أكبر $\alpha$؛ عزم دوار أكبر $I$ ⟹ عزم دوران أصغر $\alpha$.
- إنه التوأم الدقيق لـ $\vec F = m\vec a$، مع استبدال الكميات الخطية بكميات دورانية.
يعمل عزم صفر $12\ \text{N·m}$ على عجلة ذات قصور ذاتي دوراني $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. ما هو التسارع الزاوي، بوحدة $\tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$؟
$\alpha = \sum\tau / I = 12/3 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
أي عزم صفر يعطي عجلة ذات قصور ذاتي دوراني $I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ تسارعاً زاویاً قدره $5\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$؟ أجب بوحدة $\text{N·m}$.
$\tau = I\alpha = 2 \times 5 = 10\ \text{N·m}$.
قانون نيوتن الثاني للدوران هو العزم الصفر $= I\_\_$ (أكمل الكمية الزاوية).
$\sum\tau = I\alpha$ — القصور الذاتي × التسارع الزاوي.
التشابه الكامل
- القوة $\to$ العزم $\tau$؛ الكتلة $\to$ العزم القصور الذاتي $I$؛ التسارع $\to$ التسارع الزاوي $\alpha$.
- كل قانون خطي له شريك دوري يتم الحصول عليه عن طريق هذا الاستبدال.
- $F = ma$ يصبح $\tau = I\alpha$؛ الزخم $mv$ يصبح زخم الزاوية $I\omega$.
- تعلم عموداً واحداً وتحصل على الآخر مجاناً.
في قانون نيوتن الثاني للدوران $\tau = I\alpha$، أي كمية تلعب دور الكتلة؟
القصور الذاتي الدوراني $I$ هو نظيره الدوراني للكتلة — مقاومة التسارع الزاوي.
طابق كل كمية دورانية بنظيرها الخطي.
$\tau \leftrightarrow F$، $I \leftrightarrow m$، $\alpha \leftrightarrow a$ يحول $F = ma$ إلى $\tau = I\alpha$.
لماذا العجلات الثقيلة بطيئة في الاستجابة
- وجود عزم قصور ذاتي كبير $I$ (كتلة بعيدة عن المحور) يعني أن العزم المحدد ينتج تسارعاً زاوياً صغيراً $\alpha$.
- تستخدم العجلات الثقلية هذا المقصود عمداً — فهي تقاوم تغييرات الدوران، مما ينظم دوران المحرك.
- لتسريع دوران عجلة ثقيلة بسرعة، تحتاج إلى عزم كبير.
- نفس العزم، وعزم قصور ذاتي أكبر ⇒ بطء في البدء وبطء في التوقف.
قانون نيوتن الثاني للدوران
يعمل عزم على التسارع الزاوي متناسباً مع القصور الذاتي الدوراني: العزم = I × ألفا.
لنفس العزم الصفر، يؤدي القصور الذاتي الدوراني الأكبر إلى تسارع زاوي أصغر.
$\alpha = \tau / I$: القسمة على $I$ أكبر تعطي $\alpha$ أصغر.
القانون الثاني للدوران يستخدم محصلة العزوم، وليس القوة، والعزم القصور الذاتي، وليس الكتلة. لا تعوض كتلة عادية في $\tau = I\alpha$ — يجب عليك استخدام $I = \sum mr^2$، والذي يعتمد على توزيع الكتلة.
محصلة عزم قدرها $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ تؤثر على عجلة لها عزم قصور ذاتي قدره $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
إذا ضاعفنا العزم القصور الذاتي، فإن نفس العزم سيعطي نصف التسارع $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
قانون نيوتن الثاني للدوران: $\sum \tau = I\alpha$، لذا $\alpha = \sum\tau / I$. إنه يعكس $F = ma$ بتعويض العزم بالقوة، والعزم القصور الذاتي بالكتلة، والتسارع الزاوي بالتسارع. العزم القصور الذاتي الكبير $I$ يجعل الجسم بطيئاً في بدء الدوران أو إبطائه.