ربط الحركة الخطية بالدوارة
على مقعد الخيل الدوار، الحافة تتحرك بسرعة
- واقف بالقرب من مركز مقعد الخيل الدوار ستتحرك ببطء.
- واقف عند الحافة ستتحرك بسرعة هائلة — ومع ذلك يشارك الجميع نفس سرعة الدوران.
- يدور المنصة بأكملها معاً، لذا每个人都有相同的角速度。
- لكن السرعة الخطية لكل راكب تعتمد على مدى ابتعاده عن المركز.
معادلات الجسر
- طول القوس يرتبط بالزاوية: $s = r\theta$.
- السرعة الخطية ترتبط بالسرعة الزاوية: $v = r\omega$.
- التسارع المماسي يرتبط بالتسارع الزاوي: $a_t = r\alpha$.
- في كل حالة، اضرب الكمية الزاوية في نصف القطر $r$.
نصف القطر يحدد السرعة
غيّر نصف القطر ولاحظ كيف يتغير طول القوس (وبالتالي السرعة الخطية) بالنسبة لـ r.
نقطة تبعد $0.3\ \text{m}$ عن محور عجلة، تدور بسرعة $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ما سرعتها الخطية، بوحدة $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$؟
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
طول القوس الممسوح هو $s = r\_\_$ (أدخل الكمية الزاوية).
$s = r\theta$ — نصف القطر مضروباً في الزاوية بالراديان.
حدد جميع المعادلات الصحيحة التي تربط بين الخطي والدوار.
كل منها يربط كمية زاوية بكمية خطية عن طريق الضرب في $r$. $v = \omega/r$ غير صحيح.
كلما ابتعدت زادت السرعة
- لأن $v = r\omega$، فإن نصف قطر أكبر يعطي سرعة خطية أكبر لنفس سرعة الدوران.
- حافة العجلة تتحرك أسرع من نقطة靠近 المحور.
- ولهذا السبب تتحرك طرف الرافعة الطويل، أو حافة شفرات المروحة، أو الحصان الخارجي على الكاروسيل بأسرع سرعة.
- نفس $\omega$ في كل مكان على الجسم؛ مختلفة $v$ عند نصف قطرات مختلفة.
على قرص دوار صلب، كيف تتقارن نقطة الحافة ونقطة قريبة من المحور؟
جميع النقاط تشارك في $\omega$؛ الحافة لها نصف قطر أكبر، لذا $v = r\omega$ أكبر هناك.
بالنسبة للعجلة أعلاه، ما السرعة الخطية عند مسافة $0.6\ \text{m}$ من المحور، بوحدة $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$؟
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ضعف نصف القطر يؤدي إلى ضعف السرعة.
الدوران دون انزلاق
- عندما يدور عجلة دون انزلاق، يتحرك مركزها بسرعة $v = r\omega$.
- نقطة التلامس تكون ساكنة لحظياً؛ الجزء العلوي يتحرك بسرعة $2v$.
- تربط هذه الشرط المنظم بين دوران العجلة وحركتها الأمامية.
- سنستخدمه مرة أخرى لطاقة الدوران في الموضوع التالي.
عجلة تدور دون انزلاق يكون مركزها يتحرك بسرعة $v = r\omega$.
الدوران دون انزلاق يربط المسافة المقطوعة بالدوران تماماً عبر $v = r\omega$.
كل نقطة على جسم صلب دوار تشارك نفس $\omega$، ولكن ليس نفس $v$. لا تفترض أن الحافة والمركز يتحركان بنفس السرعة الخطية — الحافة أسرع بكثير لأن نصف قطرها أكبر ($v = r\omega$).
تقع نقطة ما على مسافة $0.3\ \text{m}$ من محور عجلة تدور بسرعة $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
نقطة على مسافة $0.6\ \text{m}$ ستتحرك بسرعة $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — أسرع مرتين، لنفس معدل الدوران.
الترابط بين الحركة الخطية والزاوية يتمثل في نصف القطر: $s = r\theta$، $v = r\omega$، $a_t = r\alpha$. كل نقطة على جسم صلب تشارك نفس $\omega$، لكن النقاط الأبعد عن المحور لها $v$ أكبر. تعيد عجلة تدور دون انزلاق $v = r\omega$.