حد الخطأ لاغرانج
| English | العربية |
|---|---|
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | حد خطأ لاغرانج |
تحديد خطأ كثير حدود تايلور
- كثير حدود تايلور هو مجرد تقريب. كم يمكن أن يكون خاطئاً؟
- يعطي حد خطأ لاغرانج سقفاً مضموناً للباقي.
- يستخدم المشتقة التالية — الأولى التي لم يطابقها كثير الحدود.
- به، يمكنك إثبات أن التقريب دقيق ضمن هامش خطأ مطلوب.
الحد
- خطأ كثير حدود تايلور من الدرجة $n$ $P_n$ عند $x$ يحقق:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- هنا $M$ هو حد أقصى لـ $\big|f^{(n+1)}\big|$ على الفترة بين $a$ و$x$.
- يبدو كـ الحد التالي لتايلور، لكن مع استبدال المشتقة بحجم أسوأ حالة $M$.
الفجوة التي يحددها هذا الحد
y = a·e^{bx}
يحدّ حد لاغرانج الفجوة بين $e^x$ وكثير حدود تايلر باستخدام القيمة العظمى للمشتقة التالية $M$.
حد خطأ لاغرانج هو $|R_n(x)|\le$
يستخدم حد المشتقة $(n+1)$ و $(n+1)!$.
إيجاد الأجزاء
- $(n+1)$: واحد أكثر من درجة كثيرة الحدود — رتبة أول حد مفقود.
- $M$: حد أعلى للقيمة المطلقة للمشتقة $(n+1)$ في الفترة بين $a$ و$x$ (استخدم القيمة الأكبر التي تصل إليها).
- $|x-a|^{n+1}$: المسافة من المركز، مرفوعة لتلك القوة.
- اضرب، واقسم على $(n+1)!$، وستحصل على حد أعلى مضمون للخطأ.
بالنسبة لكثير حدود من الدرجة $n$، أي مشتق يحده $M$؟
واحدة أكثر من الدرجة: المشتقة $(n+1)$.
في الحد، $M$ هي...
حد أسوأ حالة للمشتقة التالية.
إثبات الدقة
- لإظهار أن $P_n$ يقع ضمن، قلنا $0.001$: احسبحد لاغرانج وتأكد أنه $\le 0.001$.
- لأن الحد يُبالغ في تقدير الخطأ الحقيقي، فإذا كان الحد صغيراً، يكون الخطأ الحقيقي أصغر منه.
- كلما كبر $n$، تصغر قيمة الحد (المضروب أكبر، والدقة أعلى).
- إنه الشريك الجاد لتقريب تايلور.
مع $M=1.2$، $n=2$، $x=0.1$، $a=0$: ما قيمة $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ؟ (رقم عشري)
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
حد لاغرانج هو سقف مضمون، وعادة ما يكون أكبر من الخطأ الفعلي.
إذا كان الحد صغيراً، فإن الخطأ الحقيقي أصغر منه.
زيادة الدرجة $n$ تجعل عادةً حد الخطأ...
المضروب الأكبر يُصغّر الحد → دقة أعلى.
استخدم المشتقة $(n+1)$ والمضروب $(n+1)!$ — واحد فوق درجة كثير الحدود، وليس $n$. $M$ هو الحد الأقصى لـ$|f^{(n+1)}|$ على الفترة بين $a$ و$x$ (حد أسوأ حالة، لذا اختر قيمة يمكنك تبرير أنها كافية الكبر). الحد هو ضمان، وعادة ما يكون أكبر من الخطأ الفعلي.
حد خطأ كثير حدود ماكلورين من الدرجة $2$ للدالة $e^x$ عند $x=0.1$.
- المشتقة التالية: $f'''(x)=e^x$؛ على $[0,0.1]$، $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- إذن $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ يقع ضمن $0.0002$ من $e^{0.1}$. ✓
حد خطأ لاغرانج: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$، حيث يحد $M$ المشتقة الـ$(n+1)$ على الفترة بين $a$ و$x$. إنه الحد التالي لتايلور مع استبدال المشتقة بأقصى قيمة لها — وهو سقف خطأ مضمون لإثبات أن التقريب يحقق هامش الخطأ المسموح به.