إيجاد تقريبات متعددات حدود تايلور للدوال
| English | العربية |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود تايلور |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود ماكلورين |
تقريب دالة بكثير حدود
- استخدمت خط الاستقامة (الوحدة 4) خطاً مماسياً لتقريب دالة. لماذا نتوقف عند خط؟
- كثير حدود تايلور يطابق قيمة الدالة و عدة مشتقات عند نقطة ما.
- كلما طابقت المشتقات أكثر، كان التقريب أدق بالقرب من المنحنى.
- كثيرات الحدود سهلة الحساب، لذا فهي بديل قوي للدوال المعقدة.
بناء كثير الحدود
- مركزه $x=a$، كثير حدود تايلور من الدرجة $n$ هو:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- كل حد يستخدم المشتقة $k$ عند $a$، مقسوماً على $k!$، مضروباً في $(x-a)^k$.
- الجزء من الدرجة $1$ هو بالضبط خط الاستقامة؛ إضافة الحدود الأعلى منحنيات إضافية.
الحد $k$ من متعدد حدود تايلور المتمركز عند $a$ هو...
المشتقة عند $a$، مقسومة على $k!$، مضروبة في $(x-a)^k$.
يتم تقييم كل مشتق في كثير حدود تايلر عند ____ $a$.
استخدم $f^{(k)}(a)$، لا $f^{(k)}(x)$.
ماكلورين: المركز في الصفر
- كثير حدود ماكلورين هو ببساطة كثير حدود تايلور مركزه $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — تصبح $(x-a)$ عوامل عادية $x^k$.
- بعضها شائع ويستحق الحفظ: $e^x$، $\sin x$، $\cos x$ لها كثيرات حدود ماكلورين نظيفة.
- نفس الوصفة، مركزها نقطة الأصل.
كثير حدود ماكلورين هو كثير حدود تايلر مركز عند...
ماكلورين = مركز عند $0$.
أفضل قرب المركز
- يكون التقريب الأفضل قرب $x=a$ ويتدهور كلما ابتعدت.
- إضافة المزيد من الحدود (درجة أعلى) تحسن الدقة على نطاق أوسع.
- طابق القيمة، الميل، الانحناء وما وراء ذلك — كل مشتقة تثبت ميزة إضافية.
- خط الاستقامة هو مجرد أول حدين من هذه الفكرة الأكبر.
متعدد حدود يلتحم بـ eˣ
y = a·e^{bx}
متعدد ماكلورين من الدرجة 2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ يلتحم بـ $e^x$靠近 $0$ — المزيد من الحدود يوسع النطاق الجيد.
كثير حدود ماكلورين من الدرجة 2 لـ $e^x$ هو...
جميع مشتقات $e^x$ عند $0$ هي $1$.
حد تايلر يقسم المشتقة $k$ على $k!$ (وهو مضروب).
اقسم على $k!$، لا على $k$.
تقريب كثير حدود تايلر يكون الأكثر دقة...
الدقة تكون أفضل قرب $a$ وتتحسن بزيادة عدد الحدود.
لا تحذف الضرايع: الحد $k$ هو $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — اقسم على $k!$، وليس مجرد $k$. قيّم كل مشتق عند المركز $a$ (وليس عند $x$). والتقريب جيد فقط قرب $a$؛ بعيداً عنه، يمكن أن تكون كثير حدود تايلور المقطوع مخطئاً بشكل كبير.
أوجد كثير حدود ماكلورين من الدرجة $2$ للدالة $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$، $f'(0)=1$، $f''(0)=1$ (لأن كل مشتقة لـ $e^x$ هي $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- قرب $0$، $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (مثلاً $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
كثير حدود تايلور مركزه $a$ هو $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — يطابق قيمة الدالة ومشتقاتها عند $a$. كثير حدود ماكلورين هو الحالة الخاصة $a=0$. احتفظ بـ العوامل المضروبة، احسب المشتقات عند $a$، وتوقع أفضل دقة قرب المركز.