حد الخطأ في المتسلسلة المتناوبة
| English | العربية |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | حد خطأ السلسلة المتناوبة |
كم هي قريبة من مجموع جزئي؟
- إذا توقفت عن متسلسلة متناوبة بعد عدد قليل من الحدود، فكم مقدار الخطأ في تقديرك؟
- بالنسبة لمتسلسلة متناوبة متقاربة، هناك حد بسيط وجميل جداً.
- حد خطأ المتسلسلة المتناوبة: يكون الخطأ لا يتجاوز أول حد تم استبعاده.
- حد واحد يكفي لمعرفة الدقة — دون تعقيد الحسابات.
الحد
- قَدّر المجموع $S$ باستخدام المجموع الجزئي $n$ $S_n$. الباقي (الخطأ) هو $|S-S_n|$.
- بالنسبة لمتسلسلة متناوبة متقاربة (متناقصة $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- يكون الخطأ في أقصى حدود القيمة المطلقة للحد التالي — أول حد لم تضيفه.
الحد التالي يحد الخطأ
تحتبس المجموع الجزئي لمتسلسلة متناوبة المجموع الحقيقي، لذا فإن الخطأ ليس أكثر من حجم الحد التالي (المستبعد).
بالنسبة لمتسلسلة متناوبة متقاربة، فإن الخطأ $|S-S_n|$ ليس أكثر من...
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
يُحَدّ الخطأ بالحد الأول ____، وليس الأخير المضمن.
استخدم $b_{n+1}$، وهو الحد الذي لم تجمعه.
لماذا يحدّ الحد التالي هذا الخطأ
- لأن الحدود تتناوب وتصغر، فإن المجموع الحقيقي محصور دائماً بين المجموعين الجزئيين المتتاليين.
- لذا فإن التوقف عند $S_n$ يؤدي إلى تجاوز أو نقص بمقدار أقل من حجم الحد التالي.
- تقترب المجموع الجزئي مثل الكورسات المنكمشة حول $S$.
- ومن هنا، فإن الحد التالي مباشرة يمثل سقفاً مضموناً للخطأ.
بتقريب $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ باستخدام $3$ حد، يكون حد الخطأ هو الحد التالي $b_4$. ما هو؟
$b_4=\tfrac14=0.25$.
المجموع الحقيقي محبوس دائماً بين مجموعين جزئيين متتاليين لمتسلسلة متناوبة.
ولهذا السبب يحدّ الحد التالي الخطأ.
استخدامه لضمان الدقة
- تريد أن يكون الخطأ أقل من $0.01$؟ ابحث عن أول حد تكون قيمته $b_{n+1}\le 0.01$ وأوقف عند ذلك الحد.
- يسمح لك الحد بتحديد عدد الحدود التي تحتاجها لتحقيق دقة مستهدفة.
- ينطبق هذا فقط على المتسلسلات المتناوبة التي تحقق شروط اختبار المتسلسلات المتناوبة.
- بسيط، دقيق، وملائم للاختبارات.
ينطبق هذا الحد على أي متسلسلة متقاربة، متناوبة أم لا.
فقط المتسلسلات المتناوبة التي تحقق شروط الاختبار.
لضمان خطأ أقل من $0.01$، استمر في جمع الحدود حتى يصبح الحد التالي $b_{n+1}$...
توقف عندما $b_{n+1}\le0.01$.
يعمل هذا الحد فقط للمتسلسلات المتناوبة التي تحقق شروط اختبار المتسلسلات المتناوبة (متناقصة $b_n\to0$) — ولا ينطبق على المتسلسلات ذات الحدود الموجبة. يُحدّد الخطأ بواسطة أول حد تم استبعاده $b_{n+1}$، وليس آخر حد تم تضمينه. استخدم $b_{n+1}$، وهو حجم الحد الذي لم تجمعه.
قدّم $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ باستخدام أول $3$ حدود؛ وحدد الخطأ.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- أول حد تم استبعاده: $b_4=\tfrac14$. إذن $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- إن المجموع الحقيقي $\ln 2\approx0.693$ يقع بالفعل ضمن $0.25$ من $0.833$. ✓
حد خطأ المتسلسلة المتناوبة: بالنسبة لمتسلسلة متناوبة متقاربة، يكون خطأ المجموع الجزئي $n$ في أقصى حدود أول حد تم استبعاده، وهو $|S-S_n|\le b_{n+1}$. ينطبق فقط على المتسلسلات المتناوبة التي تحقق شروط الاختبار، ويسمح لك باختيار عدد الحدود الذي يضمن دقة مستهدفة.