اختيار الإجراءات لحساب المشتقات
لديك صندوق أدوات — الآن اختر الأداة
- بحلول الآن، لديك قواعد القوة، والثابت المضروب، والمجموع/الفرق، والضرب، والقسمة، والسلسلة، ومشتقات العناصر الأساسية.
- مهارة الامتحان هي اختيار القاعدة الصحيحة بسرعة، ودمج القواعد في ترتيب صحيح.
- عادة ما تكون المشتقة المعقدة سهلة بمجرد رؤية هيكلها.
- هذا الدرس دليل قرار لقراءة ذلك الهيكل.
اقرأ الهيكل الخارجي أولاً
- اسأل: في المستوى العلوي جداً، هل هذا مجموع، ضرب، قسمة، أم تركيب؟
- مجموع/فرق → اشتق حدًا تلو الآخر.
- ضرب → قاعدة الضرب؛ قسمة → قاعدة القسمة.
- تركيب (دالة داخل دالة) → قاعدة السلسلة، تقشير من الخارجي للداخلي.
اقرأ البنية، اختر القاعدة
y = a / (x − b)
سواء كان المنحنى ناتجاً عن حاصل ضرب أو قسمة أو تركيب يغير القاعدة التي تُشتق بها — اقرأ المستوى العلوي أولاً.
أي قاعدة يحتاج $y=x^2\sin x$ في المستوى العلوي؟
إنه حاصل ضرب $x^2$ و$\sin x$ → قاعدة الضرب.
البنية في المستوى العلوي لـ $\dfrac{\sin x}{x^2}$ هي...
إنه $\sin x$ مقسوماً على $x^2$ — قسمة (أو أعد كتابتها كـ $x^{-2}\sin x$).
طابق كل دالة بالقاعدة العلوية التي تحتاجها.
اقرأ العملية الخارجية: حد بحد، ضرب، قسمة، أو تركيب.
اجمع القواعد بالترتيب الصحيح
- الدوال الحقيقية تدمج القواعد: ضرب تكون عوامله تركيبات، أو قسمة تحتوي على سلسلة بداخلها.
- اعمل من الخارج للداخل: طبق القاعدة في المستوى الأول أولاً، ثم تعامل مع كل جزء فرعي بقاعدته الخاصة.
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: قاعدة الضرب أولاً، وعامل $\sin(3x)$ يحتاج قاعدة السلسلة → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$.
- احتفظ بالمشتقات الفرعية في صناديق مُصمّمة حتى لا يُفقَد شيء.
بسط $\dfrac{x^2+x}{x}$ أولاً، ثم اشتق. ما هي المشتقة؟
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$، لذا المشتقة هي $1$ — لا حاجة لقاعدة القسمة.
بالنسبة للدوال المتداخلة، طبق القواعد بدءاً من المستوى ____ نحو الداخل.
تعامل مع البنية الخارجية أولاً، ثم كل جزء فرعي.
بسّط بذكاء، ثم تحقق من المنطق
- قبل الغوص في التفاصيل، اسأل ما إذا كانت الجبر تجعل الأمر أسهل: فك ضرب صغير، أو تقسيم كسر إلى حدود.
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$، لذا مشتقته هي مجرد $1$ — لا حاجة لقاعدة القسمة.
- بعد الاشتقاق، تحقق من المنطق: عدد الحدود صحيح، الإشارات معقولة، الوحدات معقولة.
- الاختيار الجيد في البداية أفضل من العناء في أصعب قاعدة بالتعصب.
بعد الاشتقاق، التحقق من الإجابة لعقلانيتها (عدد الحدود، الإشارات) ممارسة جيدة.
فحص سريع للعقلانية يكشف الكثير من الأخطاء.
طابق القاعدة مع الهيكل العلوي، وليس أول رمز تراه. $\dfrac{\sin x}{x^2}$ هو قسمة (استخدم قاعدة القسمة أو أعد كتابتها كـ $x^{-2}\sin x$ لقاعدة الضرب) — إنه ليس مجرد "مشتقة $\sin$." قراءة خاطئة للهيكل ترشدك لطريق قاعدة خاطئ تماماً.
اشتق $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$.
- المستوى العلوي هو قسمة: $f=e^x$، $g=x^2+1$.
- $f'=e^x$، $g'=2x$ (حيث $g'$ خطوة فرعية بسيطة لقاعدة القوة).
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
اختيار إجراء: اقرأ الهيكل العلوي — مجموع، ضرب، قسمة، أو تركيب — وطبق تلك القاعدة أولاً، ثم تعامل مع كل جزء فرعي بقاعدته الخاصة، working outside-in. بسّط باستخدام الجبر عندما يكون أرخص، وتحقق من النتيجة من أجل المنطق.