حساب المشتقات الأعلى رتبة
| English | العربية |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة الثانية |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | المشتقات الأعلى رتبة |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | التسارع |
اشتق المشتقة
- لا شيء يمنعك من اشتقاق $f'$ مرة أخرى. النتيجة هي المشتقة الثانية $f''$.
- استمر في ذلك لتحصل على المشتقات الأعلى رتبة: $f'''$، $f^{(4)}$، وهكذا.
- كل منها يقيس معدل تغير السابق له.
- المشتقة الثانية هي النجمة: فهي تصف كيف يتغير الميل نفسه.
مكعب وميوله
y = ax³ + bx
$f'$ للمكعب هو قطع مكافئ و$f''$ هو خط مستقيم — كل مشتقة أقل درجة بمقدار واحد.
كرر العملية ببساطة
- أوجد $f'$ باستخدام أي قواعد تحتاجها، ثم اشتق ذلك للحصول على $f''$.
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- كل خطوة هي مشتقة عادية — لا تقنية جديدة، فقط تطبيق مجدداً.
- بسّط $f'$ قبل الاشتقاق مرة أخرى؛ فهذا يحافظ على الجبر نظيفاً.
بالنسبة لـ $f(x)=x^4$، ما هو $f'(x)$؟
$f'=4x^3$، ثم $f''=12x^2$.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-2x^2+5x$، $f'(x)=6x-4$. أوجد $f'(2)$.
$f'(2)=6(2)-4=8$.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-2x^2+5x$، حدد جميع المشتقات الصحيحة.
اشتق خطوة بخطوة؛ الخيار الرابع تبسيط خاطئ.
الترميز للترتيبات الأعلى
- ترميز البريم: $f''(x)$، $f'''(x)$، ثم $f^{(4)}(x)$ (الأرقام التي تلي ثلاثة بريمات).
- ترميز لايبنايز: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ للمشتقة الثانية، $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ للمشتقة الثالثة.
- اقرأ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ على أنها "دي-سكويرد-ي دي-إكس-سكويرد" — وتعني "أخِذ المشتقة لـ $y$ مرتين."
- كلا الترميزين يعنيان نفس الشيء تماماً.
في تدوين لايبنتز، تُكتب المشتقة الثانية لـ $y$ كـ $\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. الأس $\square$ هو ____.
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
ماذا تعني المشتقة الثانية فعلياً
- $f'$ هي معدل تغير $f$؛ و$f''$ هي معدل التغير لـ $f'$.
- إذا كانت $f$ الموضع، فإن $f'$ هي السرعة و$f''$ هي التسارع — مدى سرعة تغير السرعة.
- إشارة $f''$ تخبرك بـ التقعر (الانحناء لأعلى أو لأسفل)، وسننتقل إليها في الوحدة 5.
- لذا، فإن المشتقات ذات الترتيب الأعلى ليست عملاً روتينياً بلا فائدة — $f''$ تحمل معنى حقيقياً وفيزيائياً.
المشتقة الثانية $f'$ تساوي $(f')^2$.
$f'$ هي مشتقة $f'$، ليست مربعها.
إذا كان $f$ هو الموقع، فإن المشتقة الثانية $f'$ تمثل...
$f'=$ السرعة، $f''=$ التسارع.
$f''$ هي مشتقة $f'$، وليس مربع $f'$: $f''\neq(f')^2$. وطبّق قواعد السلسلة/الضرب/القسمة مرة أخرى في كل مرحلة — فك differentiation $f'=\sin(x^2)$ للحصول على $f''$ ما يزال يتطلب قاعدة السلسلة. لا تتوقف عن استخدام القواعد فقط لأنك في الجولة الثانية.
أوجد $f''(x)$ للدالة $f(x)=x^3-2x^2+5x$.
- المشتقة الأولى: $f'(x)=3x^2-4x+5$.
- اشتق مرة أخرى: $f''(x)=6x-4$.
- (واحدة أكثر: $f'''(x)=6$، و$f^{(4)}(x)=0$.)
يتم إيجاد المشتقة الأعلى رتبة عن طريق الاشتقاق المتكرر: $f''$ هي مشتقة $f'$، وهكذا. اكتبها $f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$، إلخ. المشتقة الثانية هي معدل تغير المشتقة الأولى (مثل التسارع)، وستصف إشارتها الانحدار. استمر في تطبيق قواعد السلسلة/الضرب/القسمة في كل مرحلة.