اشتقاق الدوال المثلثية العكسية
| English | العربية |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | الدوال المثلثية العكسية |
المشتقات التي تخفي جذراً تربيعياً
- دوال المثلث العكسية — $\arcsin$، $\arctan$، وأصدقائها — تلغي عمل الجيب، والظل، وما إلى ذلك.
- مشتقاتها جبرية بشكل مفاجئ: لا مثلثات على الإطلاق، فقط قوى وجذور.
- اثنتان تستحقان الحفظ تماماً؛ والباقي يتبع نفس النمط.
- هذه دوال المثلث العكسية تظهر في التكامل لاحقاً، لذا معرفة مشتقاتها تدفع ثمنها مرتين.
الاثنان اللذان يجب أن تعرفهما
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- لاحظ: $\arcsin$ له جذر في المقام؛ بينما $\arctan$ له $1+x^2$ نظيف.
- كلاهما موجب دائماً في مجالات تعريفه — هذان العكسان متزايدان.
الميل الناعم لأركتانجاين
y = a·tanh(bx) (شكل مشابه لأركتانجاين)
$\arctan x$ يتصاعد أسرع عند $0$ (ميل $1$) وينسطح — مشتقتها $\tfrac{1}{1+x^2}$ تتناقص نحو $0$.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$؟
$\arcsin$ له شكل الجذر $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$؟
$\arctan$ له الشكل النقي $\tfrac{1}{1+x^2}$ (بدون جذر).
باقي العائلة
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — نفس $\arcsin$ لكن سالبة.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — سالب $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- "co-" العكسات تحمل إشارة سالبة، مستندة إلى نمط المثلث العادي.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ هو ____ لـ $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (نفس المقدار، إشارات متعاكسة).
$\arccos$ يحمل الإشارة السالبة.
حدد جميع مشتقات الدوال المثلثية العكسية التي تحتوي على جذر تربيعي.
$\arcsin$، $\arccos$، وأركسيك لها جذور؛ $\arctan$ هي $\tfrac{1}{1+x^2}$ بدون جذر.
اربطهم معاً
- باستخدام قاعدة السلسلة، استبدل $x$ بدالة داخلية $u$ واضرب في $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- نفس الروتين كأي مسألة قاعدة السلسلة: الصيغة الخارجية، ثم $\times\,u'$.
بالنسبة لـ $y=\arctan(3x)$، $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. أوجد $y'$ عند $x=0$.
عند $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (بدون عامل داخلي).
قاعدة السلسلة تضيف المشتقة الداخلية $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
لا تخلط بين الشكلين: $\arcsin$ يعطي $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (وهو جذر)، بينما $\arctan$ يعطي $\frac{1}{1+x^2}$ (لا يوجد جذر). ومع قاعدة السلسلة، لا تتخلى أبداً عن المشتقة الداخلية: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$، وليس $\frac{1}{1+9x^2}$.
اشتق $y=\arctan(x^2)$.
- الخارجي: $\arctan(u)$ مع $u=x^2$، يعطي $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- المشتقة الداخلية: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
احفظ $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ و$\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. العكسات "co-" ($\arccos$، arccot) تحمل إشارة سالبة. بالنسبة لـ دوال المثلث العكسية المركبة، طبق قاعدة السلسلة — الصيغة القياسية مضروبة في المشتقة الداخلية $u'$.