اشتقاق الدوال العكسية
| English | العربية |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | مقلوبات |
ميول الدالة ونظيرتها
- الدالة العكسية $f^{-1}$ تلغي عمل $f$: فهي تعكس الرسم البياني عبر الخط $y=x$.
- الانعكاس يبدل أدوار الصعود والتقدم — لذا يعكس الميل رأساً على عقب.
- هذا يمنحك اختصاراً ذكياً: يمكنك إيجاد مشتقة الدالة العكسية من مشتقة الدالة الأصلية.
- والأفضل من ذلك، أنك غالباً لن تحتاج إلى صيغة لـ $f^{-1}$ على الإطلاق.
قاعدة المقلوب للميل
- عند النقاط المتطابقة، تكون ميول $f$ و$f^{-1}$ مقلوبات.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- اقرأها على أنها: ميل الدالة العكسية عند $x$ هو $1$ مقسوماً على ميل $f$ عند المدخل المطابق.
- المدخل المطابق هو $f^{-1}(x)$ — النقطة على $f$ التي تُحوّل إلى $x$.
مشتقة الدالة العكسية هي $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
مقلوب المشتقة الأصلية عند المدخل المماثل $f^{-1}(x)$.
التعويض دون عكس الدالة
- عادةً ما تحتاج فقط إلى المشتقة عند نقطة واحدة، ويمكنك跳过 إيجاد $f^{-1}$.
- قل إن $f(2)=5$ و$f'(2)=3$. إذن النقطة $(5,2)$ تقع على $f^{-1}$، لذا $f^{-1}(5)=2$.
- طبق القاعدة: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- لم تكن بحاجة أبداً إلى صيغة — فقط الزوج المطابق وقيمة مشتقة واحدة.
إذا كان $f(2)=5$ و$f'(2)=4$، فأوجد $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
$f^{-1}(5)=2$، إذن $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
لحساب $\big(f^{-1}\big)'(c)$ عند نقطة، ماذا تحتاج؟
تحتاج إلى المدخل المماثل و$f'$ هناك (غير صفري، حتى يوجد المقلوب) — لا حاجة لصيغة معكسة كاملة.
لماذا مقلوب؟ شاهد الانعكاس
- يعكس عبر $y=x$ يُحوّل "ارتفاع $3$ مقابل انحدار $1$" إلى "ارتفاع $1$ مقابل انحدار $3$."
- لذا فإن ميل $3$ يصبح ميل $\tfrac13$ — مقلوب حرفياً.
- ولهذا السبب يمتلك $f$ و$f^{-1}$ مقاييس متبادلة عند النقاط المقابلة.
- (ويحذرك أيضاً: إذا كان $f'=0$ عند نقطة، فإن الدالة العكسية يكون لها مماس عمودي هناك — وميله غير معرف.)
ميل ومقلوبه
y = x³ + 1
عكس المنحنى عبر $y=x$ يُبدل الصعود والتقدم — الميل $3$ يصبح $\tfrac13$ في الدالة العكسية.
لإيجاد $\big(f^{-1}\big)'(5)$، تقوم بتعيين $f'$ عند $5$.
تعيّن $f'$ عند المدخل المماثل $f^{-1}(5)$، وليس عند $5$.
عند النقاط المقابلة، يكون ميل $f$ و$f^{-1}$ ____ لبعضهما البعض.
العكس عبر $y=x$ يبدل الميل.
إذا كان $f'(a)=0$ عند المدخل المماثل، فإن المعكسة عند النقطة المقابلة تحتوي على...
القسمة على $0$ غير معرفة — المماس المعكوس رأسي.
استخدم مشتقة $f$ عند المدخل المطابق $f^{-1}(x)$، وليس عند $x$ نفسه. بالنسبة لـ $\big(f^{-1}\big)'(5)$، تحتاج إلى $f'$ عند المدخل الذي يُمثّل نحو $5$، أي $f'(f^{-1}(5))$، وليس $f'(5)$. تعويض $5$ مباشرة في $f'$ هو الخطأ الكلاسيكي.
$f(x)=x^3+1$ له $f(1)=2$ و$f'(x)=3x^2$. أوجد $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- المدخل المطابق: $f^{-1}(2)=1$ (لأن $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
مشتقة الدالة العكسية هي المقلوب لمشتقة الأصلية عند النقطة المقابلة: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. الانعكاس عبر $y=x$ يبدل الارتفاع والانحدار، مما يقلب الميل. يمكن تقييمه عند نقطة باستخدام زوج مطابق فقط — لا حاجة لصيغة لـ $f^{-1}$.