الاشتقاق الضمني
| English | العربية |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق الضمني |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | ضمنية |
عندما لا يمكنك حل المعادلة لإيجاد $y$
- الدائرة $x^2+y^2=25$ تُعرّف $y$ ضمنياً — لا يمكنك كتابتها بدلالة $y=f(x)$ مفردة.
- ومع ذلك، لا يزال للمنحنى ميل عند كل نقطة. كيف نحصل على $\tfrac{dy}{dx}$ دون حل المعادلة لإيجاد $y$؟
- الحيل: اشتق الجانبين بالنسبة لـ $x$، مع اعتبار $y$ دالة خفية لـ $x$.
- هذا هو التفاضل الضمني.
معادلة مثل $x^2+y^2=25$ تُعرّف $y$ ____, لأنها غير محلولة بالنسبة لـ $y$.
ولهذا نستخدم الاشتقاق الضمني.
كل حد $y$ يُفعّل قاعدة السلسلة
- لأن $y$ تعتمد بشكل غير مباشر على $x$، فإن اشتقاق حد $y$ يتطلب قاعدة السلسلة.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — الـ $\tfrac{dy}{dx}$ الإضافية هي المشتقة الداخلية.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ كالمعتاد (بدون $y$، بدون عامل إضافي).
- لذلك، في كل مرة اشتق فيها حداً يحتوي على $y$، أضف $\tfrac{dy}{dx}$.
باشتقاقه بالنسبة لـ $x$، $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
قاعدة السلسلة: $2y$ مضروباً في مشتقة الداخل $\tfrac{dy}{dx}$.
حل المعادلة لإيجاد $\tfrac{dy}{dx}$
- بعد الاشتقاق، تحصل على معادلة متناثرة بها $\tfrac{dy}{dx}$ في كل مكان.
- اجمع جميع حدود $\tfrac{dy}{dx}$ في جانب واحد، وكل شيء آخر في الجانب الآخر.
- أخرج $\tfrac{dy}{dx}$ كعامل مشترك واقسم لعزله.
- النتيجة عادةً ما تعتمد على كلا $x$ و$y$ — وهذا متوقع للمنحنى.
ميل المماس على منحنى
y = √(25 − x²) (نصف دائرة علوية)
حتى المنحنى الذي لا يمكنك حلّه بالنسبة لـ $y$ يمتلك مماساً عند كل نقطة — الاشتقاق الضمني يجد ذلك الميل.
ضع خطوات الاشتقاق الضمني بالترتيب الصحيح.
اشتق، اجمع، حل، ثم عيّن.
التعويض عند نقطة
- للحصول على ميل فعلي، عوض بنقطة $(x,y)$ على المنحنى في معادلة $\tfrac{dy}{dx}$ الخاصة بك.
- بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$: الاشتقاق يعطي $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$، لذا $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- عند $(3,4)$: الميل $=-\tfrac34$. عند $(3,-4)$: الميل $=+\tfrac34$.
- نفس $x$ يمكن أن يعطي ميلاً مختلفاً — لأن المنحنى له فرعي $y$.
بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$، $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. أوجد الميل عند $(3,4)$ (رقم عشري).
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
يتم إضافة العامل $\tfrac{dy}{dx}$ إلى كل حد، بما في ذلك الحدود الخالصة لـ $x$ مثل $x^2$.
فقط الحدود التي تحتوي على $y$ تحصل على معامل $\tfrac{dy}{dx}$.
باشتقاق $xy$ بالنسبة لـ $x$ نحصل على...
قاعدة الضرب: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
عامل قاعدة السلسلة $\tfrac{dy}{dx}$ يظهر فقط في الحدود التي تحتوي على $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (بدون عامل)، لكن $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. نسيان $\tfrac{dy}{dx}$ في حدود $y$ هو الخطأ المحدد للتفاضل الضمني. وضرب مثل $xy$ يتطلب قاعدة الضرب: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
أوجد $\tfrac{dy}{dx}$ لـ $x^2+y^2=25$ عند النقطة $(3,4)$.
- اشتق: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- الحل: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- عند $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — ميل المماس هناك.
التفاضل الضمني: اشتق كلا الجانبين بالنسبة لـ $x$، مع اعتبار $y$ دالة لـ $x$ بحيث يأخذ كل حد $y$ $\tfrac{dy}{dx}$ (قاعدة السلسلة)؛ ثم اجمع، وأخرج عاملاً مشتركاً، وحل لإيجاد $\tfrac{dy}{dx}$. عوض بنقطة على المنحنى للحصول على الميل. عادةً ما تعتمد الإجابة على كل من $x$ و$y$.