قاعدة السلسلة
| English | العربية |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المركبة |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| outer/ˈaʊtə/ | خارجي |
| inner/ˈɪnə/ | الداخلي |
دوال داخل دوال
- ما هو مشتقة $(3x+1)^{5}$؟ إنها قوة لـ دالة — أي دالة مركبة.
- توسيعها سيكون مرهقاً. هناك قاعدة صُنعت خصيصاً لهذا الغرض: قاعدة السلسلة.
- المركبة هي "دالة خارجية مغلفة حول واحدة داخلية"، مثل $f(g(x))$.
- قاعدة السلسلة تفرق الطبقات واحدة تلو الأخرى وتضرب النتائج.
القاعدة
- بالنسبة لـ $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- بالكلمات: مشتقة الدالة الخارجية (مع إبقاء الداخلية كما هي) في ضرب المشتقة الداخلية.
- الجزء الصغير "$\cdot\, g'(x)$" هو ما ينساه الناس — إنه جوهر الموضوع.
منحنى مركب
y = ax² + bx + c
دالة مركبة مثل $(3x+1)^2$ تكون أكثر انحداراً من خطها الداخلي وحده — تضرب قاعدة السلسلة المعدل الداخلي داخل الناتج.
تعطيك قاعدة السلسلة $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
مشتقة الخارج عند الداخل، مضروبة في مشتقة الداخل.
تحديد الخارجي والداخلي
- قبل التفاضل، سمِّ الدالة الخارجية والدالة الداخلية.
- في $(3x+1)^5$: الخارجية هي "(شيء)$^5$"، والداخلية هي $3x+1$.
- مشتقة الخارجية: $5(3x+1)^4$. مشتقة الداخلية: $3$.
- اضرب: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
بالنسبة لـ $y=(2x+1)^3$، أوجد $y'$ عند $x=0$. (قاعدة السلسلة: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
$y'=6(2x+1)^2$؛ عند $0$: $6(1)=6$.
بالنسبة لـ $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$، حدد جميع التعريفات الصحيحة.
الجذر التربيعي هو الخارجي؛ $x^2+1$ هو الداخلي ومشتقته $2x$.
ربط القواعد الأخرى بالقاعدة
- قاعدة السلسلة تتراكب مع كل شيء: القوى، الضرب، القسمة، ومشتقات الدوال الأساسية.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — خارجية $\sin$، داخلية $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- بالنسبة للدوال المتداخلة بعمق، انزع طبقة واحدة تلو الأخرى، مضروباً كل مشتقة داخلية أثناء مرورك بها.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$؟
الخارج $\cos(x^2)$ مضروباً في مشتقة الداخل $2x$.
العامل الذي يُنسى غالباً في قاعدة السلسلة هو مشتقة الـ ____ $g'(x)$.
يجب أن تضرب في $g'(x)$ بعد اشتقاق الخارج.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$؟
الخارج $e^{3x}$ مضروباً في مشتقة الداخل $3$.
لا تنس أبداً الضرب في المشتقة الداخلية $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ هي $\cos(x^2)\cdot 2x$، وليس مجرد $\cos(x^2)$. ترك "$\cdot\,g'(x)$" هو الخطأ الأكثر شيوعاً في التفاضل — فمشتقة الخارجية وحدها تمثل نصف الإجابة فقط.
اشتق $y=\sqrt{x^2+1}$.
- أعد الكتابة: $y=(x^2+1)^{1/2}$. الخارجية: $(\ )^{1/2}$؛ الداخلية: $x^2+1$.
- مشتقة الخارجية: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. مشتقة الداخلية: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
قاعدة السلسلة تفرق الدالة المركبة: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — مشتقة الخارجية (الداخلية دون تغيير) في ضرب مشتقة الداخلية. حدد الطبقات أولاً، ولا تسقط أبداً عامل $\cdot\,g'(x)$. هي تتكامل مع كل قاعدة أخرى للتعبيرات المتداخلة.