الحجم بطريقة الحلقة: الدوران حول محاور أخرى
| English | العربية |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | خارجي |
| inner/ˈɪnə/ | الداخلي |
الغلافا حول خط مزاح
- الجزء الأخير: دور منطقة من منحنيين حول خط ليس محور $x$- nor $y$.
- ادمج المبدأين اللذين تعلمتهما للتو: الغلافا (الفراغ → حلقة) والمحور المزاح (تعديل نصف القطر).
- المعادلة تظل $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$؛ فقط $R$ و$r$ يتم قياسهما من جديد إلى الخط الجديد.
- الحصول على كلتا المسافتين بشكل صحيح يجعل الحساب التفاضلي والتكاملي روتينياً.
قياس كلا نصفي القطر إلى المحور الجديد
- لمحور أفقي $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ و$r=|\text{near curve}-k|$.
- كل نصف قطر هو المسافة من منحناه إلى الخط المزاح، وليس إلى $y=0$.
- نصف القطر الخارجي يصل إلى المنحنى الأبعد عن المحور؛ نصف القطر الداخلي الأقرب.
- ثم $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ كالمعتاد.
منحنيان فوق محور مُزاح
y = ax² + bx
الدوران حول $y=-1$، كلا نصفي القطر يزداد بـ $1$ — الخارجي $\sqrt x+1$، الداخلي $x+1$؛ لا يزال $R^2-r^2$.
دوران المنطقة بين $y=\sqrt x$ و$y=x$ حول $y=-1$، نصفا القطر الخارجي والداخلي هما...
ازح كلا نصفي القطر بمقدار $+1$ لأسفل نحو $y=-1$.
بالنسبة لمحور مُزاح، يجب إعادة قياس ____ نصفي القطر (الخارجي والداخلي) إلى الخط الجديد.
ازح الاثنين، وليس واحدًا فقط.
انتبه لأي منحنى أصبح الآن الأبعد
- إزاحة المحور قد تبدل أي منحنى هو الخارجي مقابل الداخلي — تحقق بعد تحريك الخط.
- الدوران حول خط أسفل المنطقة: المنحنى السفلي يصبح الآن هو الداخلي (أقرب إلى المحور).
- الدوران حول خط أعلى المنطقة: تتغير الأدوار.
- حدد دائمًا الأقطار الخارجية والداخلية بالنسبة لمحور الدوران الفعلي.
بعد إزاحة المحور، يجب عليك...
يمكن لموضع المحور تبديل أدوار الخارج والداخل.
لا تزال: مربّع كل نصف قطر أولاً
- كما في أي قطعة غاطسة، اطرح $R^2-r^2$ — مربّع الأقطار (المُزاحة) قبل الطرح.
- لا تقم بـ $(R-r)^2$ أبدًا، ولا تعيد استخدام أقطار المحور العادي.
- ارسم قطعي المسافة من المحور إلى كل منحنى للحفاظ على دقة القياس.
- ثم قم بالتكامل بالنسبة للمتغير المناسب.
حتى حول محور مُزاح، مدخل تكامل الحلقة هو $R^2-r^2$، وليس $(R-r)^2$.
ربّع دائمًا كل نصف قطر قبل طرحه.
الحجم بالنسبة لـ $R=\sqrt x+1$، $r=x+1$ على $[0,1]$ حول $y=-1$ هو...
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
ما الفكرتان اللتان يدمجهما طريقة الحلقة المُزاحة؟
الحلقة (الفجوة → حلقة) مع نصف قطر مُزاح.
هنا فخّان مدمجان: (1) زحزح كلا القطرين نحو المحور الجديد (وليس واحداً فقط)، و(2) استمر في استخدام $R^2-r^2$، ليس $(R-r)^2$. بعد الزحزحة، تحقق مرة أخرى من أي المنحنيين هو الخارجي — لأن موقع المحور قد يبدل الأدوار. ارسم قطعي نصف القطر إلى الخط الفعلي قبل المربع.
دوّر المنطقة بين $y=\sqrt x$ (الأعلى) و$y=x$ (الأسفل) على $[0,1]$ حول الخط $y=-1$.
- زحزح كلا القطرين لأسفل نحو $y=-1$: الخارجي $R=\sqrt x+1$، الداخلي $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
طريقة القطعة الغاطسة حول محور مُزاح: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$، لكن أعد قياس كلا القطرين الخارجي والداخلي إلى ذلك الخط (مثلاً أضف مقدار الزحزحة لـ $y=k$ أسفل المنطقة). تحقق من أي المنحنيين هو الخارجي، ومربّع دائماً كل نصف قطر قبل الطرح — لا تقم بـ $(R-r)^2$.