الأحجام ذات المقاطع العرضية: مربعات ومستطيلات
| English | العربية |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | المقاطع العرضية |
تجميع الرقائق الرقيقة لتكوين جسم ثلاثي الأبعاد
- التكامل يجد أيضاً الحجوم، ليس فقط المساحات — عن طريق جمع شرائح رقيقة لجسم ما.
- قطّع جسماً عمودياً على محور؛ كل شريحة هي رقيق رفيع له مساحة مقطع عرضي $A(x)$.
- اجمعهم: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — تكامل مساحة المقطع العرضي.
- يغطي هذا الدرس أجساماً ثنائية الأبعاد whose مقاطعها العرضية مربعات أو مستطيلات.
الصيغة العامة للحجم
- إذا كان المقطع العرضي عند $x$ له مساحة $A(x)$ وسمك $dx$، فإن حجمه الصغير هو $A(x)\,dx$.
- اجمع فوق الجسم: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- كل شيء يختزل إلى: اكتب مساحة المقطع العرضي كدالة لـ $x$، ثم تكامل.
- الجزء الصعب هو هندسة شريحة واحدة، وليس التفاضل والتكامل.
حجم جسم صلب ذو مساحة مقطع عرضي $A(x)$ هو...
اجمع الصفائح $A(x)\,dx$.
لاستخدام $V=\int_a^b A(x)\,dx$، يجب أن تكون شريحة المقطع العرضي...
الشرائح عمودية على المحور الذي تكامل عليه.
المقاطع العرضية المربعة
- إعداد شائع: المقاطع العرضية مربعات قاعدتها تستند على المنطقة بين منحنيين.
- إذا كان طول القاعدة $s(x)$ (غالباً $f(x)-g(x)$، وهو الفاصل بين المنحنيين)، فإن مساحة المربع هي $s(x)^2$.
- إذن $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- تمتد قاعدة كل مربع عبر المنطقة؛ مساحتها تساوي مربع القاعدة.
المنطقة الأساسية تحت √x
y = a·√x
كل شريحة مربعة تستقر على القاعدة؛ طول ضلعها هو الارتفاع $\sqrt{x}$، لذا مساحتها هي $(\sqrt{x})^2=x$.
بالنسبة للمقاطع العرضية المربعة ذات القاعدة $s(x)$، تكون المساحة...
المربع الذي طوله $s$ مساحته $s^2$.
طول قاعدة المقطع العرضي غالبًا ما يكون المسافة بين المنحنيات الحدية، $f(x)-g(x)$.
تمتد القاعدة عبر المنطقة بين المنحنيين.
المقاطع العرضية المستطيلة
- بالنسبة لـالمستطيلات، المساحة = القاعدة $\times$ × الارتفاع: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- قد يكون الارتفاع مضاعفاً ثابتاً للقاعدة، أو معطى بشكل منفصل في المسألة.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- اقرأ المسألة بعناية لتحديد قاعدة الارتفاع بشكل صحيح.
القاعدة تحت $y=\sqrt x$ على $[0,4]$، مقاطع عرضية مربعة: $A(x)=x$. أوجد $V=\int_0^4 x\,dx$.
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
بالنسبة للمقاطع العرضية المستطيلة، المساحة = القاعدة ____ الارتفاع.
$A=s\cdot h$ للمستطيل.
طول القاعدة $s(x)$ هو عادةً المسافة بين منحنيي الحدود ($f(x)-g(x)$) أو بين منحنى ومحور — حدد ما يمتد عبر القاعدة قبل التربيع. بالنسبة لـالمربعات، المساحة هي $s(x)^2$ (لا تنسَ تربيع الفاصل بأكمله). يجب أن تكون الشرائح عمودية على المحور الذي تقوم عليه التكامل.
جسم صلب قاعدته هي المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $x=0$ إلى $4$، مع مقاطع عرضية مربعة عمودية على محور $x$.
- قاعدة كل مربع هي $s(x)=\sqrt{x}$ (من المنحنى إلى محور $x$).
- مساحة المقطع العرضي: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
حجم الجسم هو $V=\int_a^b A(x)\,dx$، وهو تكامل مساحته العرضية. بالنسبة لـالمقاطع المربعة بقاعدة $s(x)$، $A(x)=s(x)^2$؛ أما بالنسبة لـالمستطيلات، $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. أوجد القاعدة $s(x)$ (غالباً الفاصل بين المنحنيين)، اكتب $A(x)$، وأعد التكامل.