إيجاد المساحة بين المنحنيات المعبر عنها بدوال x
| English | العربية |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | المساحة بين منحنيين |
المنطقة المحصورة بين منحنيين
- تكامل واحد يعطي المساحة بين منحنى ومحور $x$. ماذا عن المساحة بين منحنيين؟
- قطّع المنطقة إلى شرائح عمودية رقيقة؛ ارتفاع كل شريط هو الفاصل بين المنحنيين.
- اجمع (أكمل) تلك الارتفاعات عبر الفترة — هذه هي المساحة بين منحنيين.
- الوصفة هي "الأعلى ناقص الأسفل، مكتمل."
الأعلى ناقص الأسفل
- إذا كان $f$ هو المنحنى الأعلى و$g$ هو الأدنى على $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- كل شريط عمودي له ارتفاع $f(x)-g(x)$ وعرض $dx$.
- always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
خط فوق قطع مكافئ
y = ax² + bx + c
بين نقاط التقاطع يقع الخط فوق القطع المكافئ — والفاصل الرأسي، بعد تكامله، هو المساحة المحصورة.
المساحة بين منحنى علوي $f$ ومنحنى سفلي $g$ على $[a,b]$ هي...
الأعلى ناقص الأسفل، مدمجاً.
إيجاد الحدود من نقاط التقاطع
- الحدود $a$ و$b$ عادة ما تكون حيث يتقاطع المنحنيان — ضع $f(x)=g(x)$ وحل.
- قيم $x$ لتلك النقاط التقاطعية هي الحواف اليسرى واليمنى للمنطقة المحصورة.
- بينهما، حدد أي منحنى في الأعلى (اختبر نقطة).
- ثم أكمل الفرق (الأعلى ناقص الأسفل) على $[a,b]$.
أين يتقاطع $y=x+2$ و$y=x^2$؟
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
لمعرفة أي منحنى يقع الأعلى بين نقاط التقاطع، يجب عليك...
أدخل نقطة اختبار لترى أيهما أعلى.
حدود التكامل تأتي من مساواة المنحنيين ____.
حل $f(x)=g(x)$ لإيجاد قيم $x$ للتقاطع.
يعمل حتى تحت المحور
- لأنك تأخذ الأعلى ناقص الأسفل، فإن المعادلة تتعامل مع المناطق تحت محور $x$ تلقائيًا.
- الحد $-g(x)$ يرفع كل شيء، لذا لا حاجة لتدوين منفصل لـ "المساحة ذات الإشارة".
- منطقة بالكامل تحت المحور لا تزال تعطي مساحة موجبة مع الأعلى ناقص الأسفل.
- هذا هو ميزة نهج ارتفاع الفاصل.
المساحة بين $y=x+2$ و$y=x^2$ هي $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. احسبها (رقم عشري).
يتساوى التكامل مع $\tfrac92=4.5$.
تكامل الأسفل ناقص الأعلى يعطي سالب المساحة الحقيقية.
عكس الترتيب يقلب الإشارة.
اطرح دائماً الأعلى ناقص الأسفل — إذا عكستها، تحصل على سالبة المساحة الحقيقية. تحقق من المنحنى العلوي باختبار قيمة $x$ بين نقاط التقاطع (يمكن أن يتبادلا، وهو الدرس التالي). والحدود تأتي من مساواة المنحنيين، وليس من محور $x$.
أوجد المساحة بين $y=x+2$ و$y=x^2$.
- نقاط التقاطع: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- على $(-1,2)$ الخط في الأعلى (اختبر $x=0$: الخط $=2>0=$ القطع المكافئ).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
المساحة بين منحنيين (دوال $x$) هي $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$، بتكامل الأعلى ناقص الأسفل على شرائح رأسية. أوجد $a,b$ حيث يتقاطع المنحنيان، وقرر أيهما في الأعلى، ثم تكامل الفارق. (الأعلى ناقص الأسفل) يحافظ تلقائياً على أن المساحة موجبة.